Använda Big O

Jag är lite osäker på vad som händer egnetligen.

Anta att vi har (1-it/n)

Vi vet att
1-it/n + O(n^-3) = exp(-it/n + t^2/2n^2).

Hur tar vi oss till följande uttryck?
exp(-it/n + t^2/2n^2 + O(n^-3))

Likheten 1-it/n + O(n^-3) = exp(-it/n + t^2/2n^2) betyder att det finns en funktion R så att
1-it/n + R(n) = exp(-it/n + t^2/2n^2), där lim_{n→∞} |R(n)/n^-3| < ∞.

Sätt S(n) = -R(n)/(1-it/n + R(n)). Det gäller att S(n) = O(n^-3).
Vidare gäller
(1-it/n + R(n)) (1 + S(n)) = 1-it/n + R(n) + (1-it/n + R(n)) S(n)
= 1-it/n + R(n) + (-R(n)) = 1-it/n.

Sätt Q(n) = ln (1 + S(n)), så att 1 + S(n) = exp(Q(n)). Det gäller att Q(n) = O(n^-3).

Nu kan vi pussla ihop detta:
1-it/n = (1-it/n + R(n)) (1 + S(n)) = exp(-it/n + t^2/2n^2) exp(Q(n))
= exp(-it/n + t^2/2n^2 + Q(n)),
dvs
1-it/n = exp(-it/n + t^2/2n^2 + O(n^-3)).

Tack!

i love you

Tack, men jag tänder inte på översminkade plastdockor.