Trigonometriska funktioner och derivata

Hej har problem med att förstå och lösa en uppgift.

Betrakta funktionen f(x)=cos2x+a*sinx, där a är en konstant. För vilka värden på a antar funktionen varje värde endast en gång i intervallet -pi/2<=x<=pi/2

Jag derivera och satte f'(x)=0 (vet inte varför). Sedan löste jag ut att a=4sinx och att -4<=4sinx<=4. Svaret säger att a<-4 eller a>4. Kan någon vänlig själ förklara varför man ska derivera och sätta f'(x)=0 och hur det kommer sig att svaret ligger utanför det intervall jag fick fram.

Jag har löst uppgiften utan att förstå någonting av det jag gjort.

f = cos2x + a*sinx
Df = a*cosx - 2sin2x

Om f är monoton på intervallet [-π/2, π/2] så är f strängt växande/avtagande på intervallet. Derivatan isåfall är då strängt positiv/negativ inom intervallet för att detta skal lgälla.

Df = a*cosx - 2sin2x = a*cosx - 4*cosx*sinx = cosx(a - 4sinx).

Inom intervallet kommer cosx alltid att vara positivt (0 i ändpunkterna) så den faktorn kan du bortse ifrån. Nu har du (a - 4sinx) och 4sinx kommer att ligga mellan [-1,1] inom intervallet. För att garantera att (a - 4sinx) är större eller mindre än noll, och strängt positivt eller negativt måste alltså det gälla att a > 4 eller a < -4.

Derivatan behöver inte nödvändigtvis vara strängt positiv, den kan vara 0 på någon enstaka punkt.

Sant, då har vi alltså en terasspunkt, men runt omkring den måste derivatan vara konsekvent + eller -.