Geometrisk summa [1+½+¼+...+1/∞]

Jag hade en diskussion idag med min lärare om huruvida S_∞=2 eller S_∞≈2 av 1+½+¼+...+1/∞. Jag argumenterade för att det skulle leda till 1.999... = 2, vilket han förnekade och ifrågasatte mig framför klassen, så jag försökte bevisa för honom att 0.999 = 1 med simpel matematik.
T.ex
1/3 = 0.333...
0.333...*3 = 0.999...
(1/3)*3 = 3
0.999... = 1
Men då sade han att det inte kan bevisas så då man inte vet decimalutvecklingen på 1/3. Jag använde mig även av 1/9 = 0.111.... etc, vilket besvarades med samma argument som förr.

Så vem har rätt? Är S_∞=2 eller S_∞≈2?

Menar du alltså att du har en mattelärare som inte vet att 0.999... med oändlig decimalutveckling är lika med ett?

sum_{k=0}^{inf} a^k = 1/(1-a) (för abs(a)>1) (se exempelvis http://sv.wikipedia.org/wiki/Geometrisk_summa)

i ditt fall är a = 1/2, vilket ger att summan är 1/(1-1/2) = 2.

Är absolutbeloppet i detta fall 1/∞? För i så fall borde väl 1/∞ < 1 ?

En följdfråga: vad är k i detta fall?

|a| < 1 är det givetvis som gäller.

Careless: Ja, hur får du k utifrån dina givna värden? Bara prova och se.

Är det kvoten mellan varje tal? I så fall är den ju inte = 0 ?

Du förvirrade mig när du frågade om k, trodde du menade a (även fast jag skrev k). k är ju bara summationsindex. Går alltså från 0 till ∞. Dvs du har en geometrisk serie ∑a^k, k = 0,1,2,... och där a = 1/2. Denna konvergerar då |a| < 1, och summan är 1/(1-a) = 2 i ditt fall.


Visst studerar du på högskolan? Verkar helt absurt.

Du har fel på samtliga punkter.

S_oo=1/(1-1/2)=2, och alltså inte S_∞≈2. Det är ett Gränsvärde, alltså kommer 1.9999999999999...aldrig tillräckligt nära, hur många nior du än lägger till.

1.9999...≈2, och aldrig=2.

0.9999=1 är ju ren nonsense. Om så vore skulle universum kollapsa direkt.

Du har räknat för mycket med decimaltal. Sluta räkna med decimaltal, räkna med algebra dvs bråk, och studera gränsvärdesbegreppet.

1.999... är visst lika med 2. Inte detta nu igen!

Ta detta i befintliga tråden tack, så slipper vi det här.

Det var alltså jag som argumenterade för S_∞ = 2.

Om 0.999... = 1 borde väl 0.999...*2 = 1 * 2 ?

Här blev det fel . Menade självklart 0.999... = 1 och inget annat.

Det fanns en ganska stor tråd om detta och min slutsats blev att 0.999... = 1, men nog om den diskussionen! Jag vill gärna veta hur S = (a(k^n-1))/(k-1) plötsligt blir S = 1/(1-k) för |k| < 1 .

x=1.999...

dvs

10x=19.99999...

dvs

10x-x=18

9x=18

x=2

Ja, faktiskt, detta är ju beviset.

Men 0.9999 är inte lika med 1.

Lite slappt gränsvärdesbegrepp, men rätt i sig faktiskt.