Derivatans tillämpningar

Hallå!

Jag har inte direkt haft något problem med derivering av funktioner hit och dit, men nu när jag har kommit in på dess tillämpningar i framförallt tredimensionella figurer börjar det gå lite trögt.

Lite allmänt bara så har jag fått för mig att man ska hitta någon sträcka att beteckna som X när man ska skriva uttrycket och därefter få uttrycket för figuren utifrån den sträckan.

t.ex: radien i en cirkel betecknas X, alltså verkar det enligt mig rimligt att omkretsen betecknas 2X(pi), att dess area betecknas X^2(pi), att en cylinder med basradien X får uttrycket X^2(pi)h.

Stämmer mitt tänkande?


Vidare till den huvudsakliga uppgiften jag har strandat på:

I figuren är kurvan y=x^2-5 ritad. en rektangel ritas mellan kurvan och x-axeln. Bestäm det största värdet rektangelns arean kan anta.

Har ni ingen grafritande räknare så kan ni alltid ladda ner http://www.padowan.dk/graph/Download.php

Tack på förhand!

I vilken kvadrant ritas rektangeln?

Edit: det stämmer mycket bra. Dock kan du ju använda r istället för x om radien är okänd, för att underlätta.

Edit2: läste y-axeln istället för x-axeln. Antar att det är kvadrant 3 och 4 som det är tal om.

kurvan har en minimipunk som är centrerad under origo, så från x-axeln mitt under origo.

f(x)=x^2-5

Rektangeln har då hörn i (0,0) (√5, 0), (0,-5) samt i (x, f(x)).
Kan du med hjälp av detta ställa upp en formel för arean själv? Måla en bild själv så ser du tydligare.

Sätt basen till: x. Och höjden till: (x^2)-5

Area= b*h
A=x*((x^2)-5)
A=x^3-5x
derivera
A`=3x^2-5
sätt derivatan=0 för att ta reda på extrempunkterna
3x^2-5=0
x^2=5/3
x=+-(5/3)^0,5

Sätt in detta i areaekvationen, (altså istället för x)

((5/3)^0,5)^3-5((5/3)^0,5)=-4,3ae
hmm
hehe
kanske blir så eftersom att rektangeln ligge under x-axeln om jag förstått rätt. Eller också är jag ute och cyklar..

lösning

y = x^2 - 5
y = 0 ger
x = +(-) roten ur(5) (x > 0 av logiska skäl)
detta ger oss intervallet 0 < x < roten ur(5)

antag att basen i rektangeln är b, halva basen blir då x, vilket ger b = 2x
antag att höjden i rektangeln är h. h = |y| (beloppet av då längen inte kan vara negativ). y = x^2 - 5.

arean hos en rektangel = b*h. antag att arean = A(x), vilket ger
A(x) = 2x(x^2 - 5) = 2x^3 - 10x

då vi vill veta A(x)'s max deriverar vi och sätter derivatan = 0
A'(x) = 6x^2 - 10
A'(x) = 0 ger
ekv 6x^2 - 10 = 0
x = +(-) roten ur(5/3) (x ej def vid < 0)
vi har alltså fått ett extremvärde vilket ger oss vårt A(x)max
ins
A(roten ur(5/3)) = 2*(roten ur(5/3))^3 - 10*roten ur(5/3)
det är beloppet av A(roten ur(5/3)) man vill åt och som ger oss den största möjliga arean

har ingen miniräknare till hands, men hoppas det hjälper

MVH

Du får bara med halva arean. b = x + |-x| = 2x, inte x.

nevermind