Bestämma serie mha Fourieranalys

Jag har försökt att lösa uppgift 5.33 och bifogar en länk till ett pdf-dokument:

http://nymejl.passagen.se/FileCabine...A-91B3587B08AB

Jag har funderat på om det finns något sätt att utnyttja att 1/n^8 = (1/n^4)^2 eftersom man utnyttjar lösningen till uppgift 4.48 som finns längst ner på sidan 3 i pdf-dokumentet. Jag har också sätt att det finns en formel i formelsamlingen BETA som kan användas för att bestämma serien, men det är ju inte meningen att det ska vara så enkelt.

Hinner inte kolla så noga på ditt problem, men det känns som att Parsevals Formel kan funka kanske?

||f(x)||^2=Summa (|c_n|^2)

eller mer explicit

Integral( f(x)^2, x = en period )/(en period) = Summa ( |c_n|^2, n=-inf...inf )

Se här;

http://en.wikipedia.org/wiki/Parseval%27s_identity

Gamle Parseval kan man lita på!

Vi räknar först ut: 1/(2pi)∫f(x/pi)^2dx (-pi<y<pi) (där vi hade att f(x)=2x^2-x^4) = 107/315,
vilket ska vara lika med: sum_{n=-inf}^{inf} c_n^2.

Nu hade vi dock inte c_n, utan istället:
a_0 = 14/15
a_n = 48*(-1)^n/(n^4*π^4) för n=1,2,...
b_n = 0

men vi vet att (http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series)

a_n = c_n + c_{-n}
b_n = i*(c_n - c_{-n})

=>

c_n = c_{-n}
a_n = 2*c_{n} => c_{n} = a_n/2

Så alltså:

sum_{n=-inf}^{inf} c_n^2 = (a_0/2)^2 + 2*sum_{n=1}^{inf} (a_n/2)^2 = 49/225 + 2*24^2/pi^8 sum_{n=1}^{inf} 1/(n^8)

och det var ju detta som skulle bli 107/315, dvs.

49/225 + 2*24^2/π^8 sum_{n=1}^{inf} 1/(n^8) = 107/315 =>

sum_{n=1}^{inf} 1/(n^8) = pi^8/9450

Tack så mycket för era svar! Tidigare så har jag inte behövt använda Parsevals formel under delkursen i Fourieranalys, därför så har jag mer eller mindre glömt bort den. Men jag är med på vad ni menar.