2010-04-14, 23:34
#3265
Citat:
Ursprungligen postat av Otrolig
z = cosv + isinv
Vi antar att vanliga deriveringsregler gäller, det vill säga, i behandlas som vilken konstant som helst.
z' = -sinv + icosv = i²sinv + icosv = i*(cosv + isinv) = iz
Vi får differentialekvationen z' = iz ⇔ z' - iz = 0 som har lösningen z = C*e^(iv) (kontrollera). Tittar vi på ursprungsformeln ser vi att z(0) = cos0 + isin0 = 1 och det leder till att vi kan bestämma konstanten C.
z(0) = C*e^(0) = C = 1 ⇒ C = 1
Alltså är z = cosv + isinv = e^(ix). Visst, det krävs kanske lite högre matematik för att bevisa att deriveringsreglerna gäller även över de komplexa talen, men enligt mig är det ett bra bevis för de som är nya inom de komplexa talen. Alternativt kan man använda serier för att bevisa satsen, men jag håller mig till denna.
Vi antar att vanliga deriveringsregler gäller, det vill säga, i behandlas som vilken konstant som helst.
z' = -sinv + icosv = i²sinv + icosv = i*(cosv + isinv) = iz
Vi får differentialekvationen z' = iz ⇔ z' - iz = 0 som har lösningen z = C*e^(iv) (kontrollera). Tittar vi på ursprungsformeln ser vi att z(0) = cos0 + isin0 = 1 och det leder till att vi kan bestämma konstanten C.
z(0) = C*e^(0) = C = 1 ⇒ C = 1
Alltså är z = cosv + isinv = e^(ix). Visst, det krävs kanske lite högre matematik för att bevisa att deriveringsreglerna gäller även över de komplexa talen, men enligt mig är det ett bra bevis för de som är nya inom de komplexa talen. Alternativt kan man använda serier för att bevisa satsen, men jag håller mig till denna.
Du gör ett bra jobb, tackar! Ska drömma om den där differentialekvationen i natt.
Nu blev allting genast klarare.
