Citat:
Ursprungligen postat av ap47
1: Vad är väntevärdet och fördelningen av Y?
Då N(t) är en Poissonprocess har vi att P(N(t) = i) = e^{-λt}*(λt)^{-i}/i!, i=0,1,2,...
Vi ser snabbt att Y(t) endast kan anta värdena 1 och -1. Y(t) blir 1 när värdet av N(t) är jämnt och -1 när värdet av N(t) är udda. Finn sannolikheten att Y(t) = 1.
P(Y(t) = 1) = sum_{i=0}^{inf} (λt)^{2i}*e^{-λt}/(2i)! (summera sannolikheterna för udda värde på N(t))
P(Y(t) = 1) = e^{-λt}*sum_{i=0}^{inf} (λt)^{2i}/(2i)!
och nu "inses lätt" (alt. slå i tabell, ex. Beta s.193) att sum_{i=0}^{inf} x^{2i}/(2i)! = cosh(x), vilket ger
P(Y(t) = 1) = cosh(λt)*e^{-λt}
och då måste såklart
P(Y(t) = -1) = 1 - cosh(λt)*e^{-λt}
Väntevärdet av Y(t):
E[Y(t)] = 1*P(Y(t) = 1) + (-1)*P(Y(t) = -1)
E[Y(t)] = 2*e^{-λt}*cosh(λt) - 1
E[Y(t)] = 2*e^{-λt}*(e^{λt}/2 + e^{-λt}/2) - 1
E[Y(t)] = e^{-2λt}
Citat:
Ursprungligen postat av ap47
2: Är ökningarna av Y oberoende?
3: Är de stationära?
Ökningarna? Nu blir jag lite osäker om jag tolkar allt rätt men, Y(t) kommer inte öka utan pendla mellan 1 och -1. Förutsatt att λ är konstant är N(t) stationär, och händelseavstånden oberoende, vilket då även gäller för Y(t).
(Med reservation för eventuella fel. Är, som sagt, lite osäker...)
