Linjär Algebra-problem

Har lite problem med att lösa följande uppgifter, nån som kan hjälpa mig?

Bestäm för varje värde på a alla vektorer u som uppfyller
u x v = w
där v = (1,a,-1) och w = (1,2,3).

och

A är en kvadratisk matris som uppfyller relationen
A^2+A+I=0
Visa att A är inverterbar och ange inversen, och visa att A^3=I.

Om jag inte är helt ute och cyklar borde det första i alla ge att u = (1/a, 2/a,3/a)

Hmm, angående den andra vet jag inte riktigt om detta är bevis nog och om jag använder matrislagarna rätt, men:

⇒ A² + A + I = 0
⇔ A(A + 1) = -I
⇔ -A(A + 1) = I
⇔ A(-A - 1) = I

Alltså är A inverterbar om likheten gäller, och (-A - 1) är dess invers, fast detta känns lite fel.

(v) A^2 + A + I = 0
(vv) A^3 + A^2 + A = 0

Men A^2 + A = -I enligt (v), så (vv) övergår i:
(vv') A^3 - I = 0 <=> A^3 = I

A inverterbar? Om A = B så är det(A) = det(B) och vi har det(A^3) = det(I) = 1, men det(A^3) = det(A)^3 så vi har att A är inverterbar ty det(A) = 1 != 0.

Edit: Glömde inversen, eftersom det(A) != 0, så ger A^3 = I att A*(A^2) = I att A^(-1) = A^2.

w blir normalvektor till planet som u, v ligger i, dvs planet x1+2x2+3x3=0

v ligger endast i planet om 1+2a-3=0, dvs om a=1.

u kan vara alla vektorer i detta plan som inte är parallella med v.

Tack för hjälpen! Finns det nåt sätt att visa att A är inverterbar och ange dess invers utan att använda determinanten? Förstod inte riktigt det beviset, determinanten verkar nämligen inte ingå i vår kurs.

Se Otroligs inlägg med viss modifikation:

A(-A - I) = I (byt ut "1" mot "I" - vi kan ju inte gärna subtrahera en skalär från en matris)

eller Hedlunds inlägg:

AA^2 = I

Vi har per definition att om A*inv(A) = I så är inv(A) inversen till A. Med andra ord är inv(A) i detta fallet (-A - I) alternativt A^2 (och sätter vi (-A - I) = A^2 får vi ju ursprungsekvationen...).

Att A är inverterbar inses lätt iom att I har full rang och eftersom rank(AB) = min(rank(A),rank(B)) måste A (och naturligtvis även inv(A)) ha full rang. Om en (kvadratisk) matris har full rang är den inverterbar.

Fast givetvis måste u har rätt längd och peka åt rätt håll (bilda högersystem u,v,w)för att just w ska bli deras kryssprodukt.

Jag ids inte räkna ut detta fullständigt, men för att exakt hitta u måste man:

1. Se till att u ligger på rätt sida så att ett högersystem bildas.

2. Använda relationen |u×v|=|u||v||sinθ|

Tips: räkna då θ=π/2 dvs sinθ=1, |u×v|=|u||v|; u|v
Från det u (dvs den blivande ortsvektorn) du då får kan du dra en vektor(blivande riktningsvektorn), parallell med v, som ger alla u.

Varför? |u||sinθ| är lika med |u| projicerat på den vektor i planet som är ortogonal med v. Lägger vi till en multipel av v kommer denna projektion inte att förändras.

Kan jag verkligen bestämma ekvationen för planet bara med hjälp av normalvektorn? Ekvationen brukar ju skrivas på formen Ax+By+Cz+D=0, där (A,B,C) är planets normalvektor, men D-värdet vet jag ju inte, eller?

Vektorerna ligger i alla dessa plan.

Ty vektorerna är inte fästa någonstans. Deras representanter kan vara var som helst i rummet, så länge de ligger i något plan x1+2x2+3x3=D, D∈ℝ. Jag skulle egentligen ha uttryckt mig så här: vektorerna är parallella med planet x1+2x2+3x3=0.

Men enklast är dock att själv fästa vektorerna vid origo och räkna på det. Eller att flytta origo till vektorerna om man istället känner för det.