sin(x) = cos(x)

sin(x) = cos(x)
⇔
sin(x) = sin(π/2 - x)

Finns två lösningar:

1)
x = π/2 - x + 2π*n
2x = π/2 + 2π*n
x = π/4 + π*n
n, heltal

2)
x = π - (π/2 - x) + 2π*n
x = π - π/2 + x + 2π*n
0 = π - π/2 + 2π*n <--- ???

Varför blir det så?

Tänk själv på enhetscirkeln, då har du ju två kvadranter där en vinkel resulterar i samma värde både för cos(x) och sin(x). För det första måste ju sin(x) och cos(x) generera samma tecken, vilket inträffar i första och tredje kvadranten. För att det ska vara exakt samma värde är det alltså π/4 och 5π/4.

Jo förstår det rent visuellt eller hur man säger, men får det inte att gå ihop när jag ska räkna ut det på pappret.

Det går visst ihop. Det stämmer att alla lösningar till ekvationen sin(x)=cos(x) är på formen π/4+n*π. Den andra ekvationen uppfylls inte av några x-värden, således ger den första ekvationen alla lösningar.

Enklaste sättet att lösa ekvationen är f.ö. är att skriva om till sin(x)/cos(x)=1, tan(x)=1, x=arctan(1)+n*π

Aha lite klurigt det där med tan(x) = 1 men förstod det nu att man delar båda led med cos(x).

Men det stämmer väl att även 5π/4 + n*π är en lösning?

Det är samma lösning. 5π/4=π+π/4

"π/4 plus ett godtyckligt heltal gånger π" är väl samma sak som "π/4 plus ett godtyckligt heltal gånger π, plus π"

Givetvis kan du lägga på en period av π om du har en periodlösning, utan att det förändrar något.

57π/4+n*π är också en lösning.

Hur beräknar du arctan(1) då?

Det gör man inte, det är ett standardvärde man bör komma ihåg.

Visst kan man se det så, men det svarar inte på min fråga. Hur kom man fram till detta "standardvärde"?

Rita upp en kvadrat med sidan 1 l.e. Dra ett streck från ena hörnet till motsatt hörn så att du får två trianglar. Dessa trianglar kommer att ha två 45-graders vinklar och en 90-graders vinkel. Beräkna tan(45deg) utifrån den här figuren.

Edit: Hade råkat skriva kub istället för kvadrat.