Matte E : Komplexa tal

Behöver hjälp med följande uppgifter angående avsnittet om de Moivres formel:

1. Skriv i formen a+bi
1+(sqrt3i)^9

2. Lös ekvationerna och svara i formen a+bi. Ange närmevärden med två decimaler.

a) z^5 = i

b) z^2 = 4,5 + 4,5sqrt3i

3. Lös ekvationerna

a) z^2 = 8+15i

b) z^2 = 5-12i

Utförliga lösningar är det som efterfrågas. Jag har hamnat fel i i lösningarna och jag vill ha fullständiga lösningar

Visa dina lösningar så kan vi hjälpa dig därifrån du gör fel =)

Ingen idé att dra dem när de är så pass dåliga. Glöm det där sista. Kör på med era utförliga lösningar!

Skriv om i polär form.

9/2+9/2*√(3)i=|9/2+9/2*√(3)i|*e^(i*arg(9/2+9/2*√(3)i))
argumentet blir då π/3. Absolutbeloppet blir 9.

Vi har:

9/2+9/2*√(3)i=9*e^(iπ/3)

z²=9*e^(iπ/3)

z=±√(9*e^(iπ/3))=±(3*e^(iπ/6))

Skriv nu om tillbaka till vanlig form.

Tackar. Kan någon eldsjäl hjälpa mig med de övriga

Skriv om vänsterledet på polär form (z = re^(iv) ). Jag antar att du vet hur man gör detta, om du inte vet så kan du fråga om hjälp med detta sen. Vid lösningen skriver du sedan ut alla lösningar (alla vinklar v som löser z = re^(iv) ), se nedan.

a)
i = 1e^(i pi/2) = e^(i pi/2 + in2pi)
z^5 = e^(i pi/2 + in2pi)
<=>
z = e^(i pi/10 + in pi/5)

Och nu får du fem olika lösningar för n = 0, 1, 2, 3, 4.
z0 = e^(i pi/10)
z1 = e^(i pi 3/10)
z2 = e^(i pi 5/10)
z3 = e^(i pi 7/10)
z4 = e^(i pi 9/10)

Detta kan sedan göras om till tal på formen a+bi genom e^(ix) = cos x + i sin x, om du vill.

b) Följ ovan. Skriv på polär form. Kom ihåg att ha med alla lösningar (+ 2i pi n i exponenten). Dra roten ur. Du får två lösningar, för n = 0, 1.


a) 8 + 15i = 17 e^(i atan (8/15) + in2pi)
z^2 = 17 e^(i atan (8/15) + in2pi)
z = 17 e^(i/2 atan (8/15) + inpi)
z0 = 17 e^(i (atan (8/15))/2)
z1 = 17 e^(i (atan (8/15))/2 + inpi)

b) Samma sak!

Man bör kunna lösa dem med de Moivres formler eller liknande för dina lösningar innehåller exponentialfunktionen på e^ix form, som enligt min mattebok inte kommer förrän två avsnitt senare.

Då
e^(ix) = cos x + i sin x
kan du helt enkelt ersätta alla förekomster av e^(ix) med cos x + i sin x och använda de Moivres formel.