Vektorer och skalärprodukt (linjär algebra)

Hallå!

Jag har fastnat på något som känns väldigt grundläggande i linalgen, nämligen skalärprodukter. Har läst boken men fattar inte riktigt hur man ska göra. Här är de tre första uppgifterna.

1. Vektorerna u och v är ortogonala. Visa att (u - v) * (2u + v) = 2|u|² - |v|².

2. Beräkna (u - 2v) * (3u + v).
Förutsättning:
|u| = 4
|v| = 3
[u,v] = pi/4

3. Två vektorer u och v spänner upp en romb.
a) Uttryck rombens diagonaler med hjälp av u och v.
b) Visa att diagonalerna är vinkelräta

Jag tror jag kommer fatta ganska snabbt om jag bara får se hur man ska göra så om nån kan lösa bara en eller två av dem hjälper det oerhört.

Tack på förhand!

(u - v) * (2u + v)=u*2u+u*v-v*2u-v*v=

= 2|u|^2-0-2*0-|v|^2.

Tack, det ser så lätt ut när man ser det löst.

Glömde en förutsättning i den andra uppgiften, lägger till den nu.

3)
Rita figur och summera vektorer;

d1-v+u=0

d2-v-u=0.

Går man runt en triangel av vektorer så blir summan lika med nollvektorn, man kommer ju tillbaka till samma punkt där man startade. OBS, riktning (tecken) är viktigt.

Vidare;

d1=v-u

d2=v+u.

d1*d2=(v-u)*(v+u)=|v|^2-|u|^2=0,

ty |v|=|u| i en romb

1.
(u-v)*(2u+v)= 2u*u+u*v-2u*v-v*v

Skalärproduktens definition är u*v=|u||v|cos(a), där a är vinkeln mellan vektorerna u och v.
Eftersom u och v i uppg.1 är ortogonala ger detta att:

2u*u+u*v-2u*v-v*v= 2|u||u|cos(0)+|u||v|cos(pi/2)-2|u||v|cos(pi/2)-|v||v|cos(0)
=2|u||u|-|v||v|=2|u|²-|v|²

VSB.

Edit: Jag borde lära mig uppdatera sidan innan jag svarar..

Ett krav för att uppgift 3b) ens ska vara lösningsbar är att vektorerna är lika långa.

Givet detta så är diagonalerna u-v samt u+v (a))