vektorer och vinklar

Antag att vektorn u bildar vinkeln pi/4 med x-axeln och vinkeln pi/3 med y-axeln. Vilka värden är möjliga på vinkeln mellan u och z-axeln?

tackar på förhand

kanske ger det här dig en ledning:

u's koordinater i standardbasen {x,y,z} ges av (·|·) inre produkt, (u|x)x+(u|y)y+(u|z)z eller ||u||(1/√2,1/2,cosΩ) där Ω är vinkeln mellan
u och z tak, (z axeln). ||u|| är normen av u

Ponera att u = (a, b, c).

(1, 0, 0)*(a, b, c)=|u|cos(pi/4) (A)

(0, 1, 0)*(a, b, c)=|u|cos(pi/3). (B)

(0, 0, 1)*(a, b ,c)=|u|cos(q) (C)

---------------------------------

a=|u|/rot(2) (A)

b=|u|/2 (B)

c=|u|cos(q) (C)

----------------------------------

Kvadrera A, B o C, och summera;

a^2+b^2+c^2=|u|^2*(1/2+1/4+(cos(q))^2)

1/4=(cos(q))^2

tack så hemskt mycket för hjälpen. Dock så förstår jag inte sista steget i GhettoSvens uträkning. Med stöd i vad gör du den uträkningen?

a^2=|u|^2/2 (A)

b^2=|u|^2/4 (B)

c^2=|u|^2(cos(q))^2 (C)

Summera dessa;

a^2 + b^2 + c^2 = |u|^2/2 + |u|^2/4 +|u|^2*(cos(q))^2

Nu är ju a^2 + b^2 +c^2 = |u|^2 så att;

|u|^2 = |u|^2/2 + |u|^2/4 +|u|^2*(cos(q))^2

dvs, förkorta bort |u|^2;

1=1/2+1/4+(cos(q))^2

dvs

1/4=(cos(q))^2

1/4=1/2+1/2*cos(2q)

-1/2=cos(2q)

360*n ± 120 = 2q

180*n ± 60 = q