Matematik E - Kedjeregeln

Tjena.

Detta är ett Matte E tal under kapitlet förändringshastigheter och derivator där de går igenom kedjeregeln: dV/dt = dV/dr * dr/dt.

En cylindrisk vattentank har höjden 5,0 m och radien 2,0 m. Vatten pumpas in i tanken med hastigheten 75 liter/min. Hur snabbt stiger vattenytan?

Svaret är 6,0 * 10^(-3)

Hur gör man?
Tack!

V=pi*R^2*h

dV/dh=pi*R^2, ty R är ju konstant.


dV/dt=dV/dh dh/dt

Vad är det som förändras här? Jo, volymen, vattenytans höjd samt tiden. Vi har:

dV/dt=dV/dh*dh/dt

Vi söker ju efter dh/dt.

dh/dt=(dV/dt)/(dV/dh)

Kommer du någonvart?

Förstår inte riktigt =/

Pi * r^2 = 12.6 o.O

Eller vad menar du

Aa det var så jag gjorde i början men jag måste ha gjort fel för jag får helt fel svar.

Kan du skriva ut det fast i siffror?

dV/dt=pi*R^2 * dh/dt

[givet]=[givet]*[sökt]

Det var rätt! Det var så jag gjorde från första början förutom att jag hade med "h" värdet.

varför derivera du h och inte r^2?

Är det för att r var konstant men h föränderlig?

Ja. r är konstant.

Dessutom söker jag dh/dt, så jag måste derivera map h.

Kolla vad du har och vad man frågar efter, i detta fall frågas det efter dh/dt.

Försök sedan att hitta ett samband mellan volymen (V) och uttrycket för volymen.

V = pi*r^2*h

Derivera sedan med avseende på h:

dV/dh = pi*r^2

Insättning i: dV/dt = dV/dh * dh/dt ger:

dh/dt = 0,075 / (pi*2,0^2)

dh/dt = 0,075 / 4pi = 0.00596831

~ 6 * 10^-3 m/min

Gör alltid en enhetsanalys av indata;

dV/dt=pi*R^2 * dh/dt

[m^3/s]=[m^2]*[m/s]

Då ser du var dina indata passar in om du går över i SI enheter.

Hur snabbt? = [m/s]

Om det pumpas in 75l/min = 0.075m³ ökar volymen/min.

V = πr²*h = 4π*h

Eftersom både V och h beror av tiden kommer kedjeregeln att ge oss:

d/dt(V) = 1*dV/dt, d/dt(h) = 1*dh/dt alltså "yttre × inre derivata".

dV/dt = 4π*dh/dt

dh/dt = (dV/dt)/4π = 0.075/(4π) = 0.00596831 m/min ≈ 6*10^-3m/min.

Tack GhettoSven och ni andra =)! Nu klarar jag de andra uppgifterna under samma kapitel nu när jag vet hur jag ska tänka.

Tack återigen!