Matte C - Derivatives

Tjena!

Find the equations of the two lines that intersect at point (5,7) and are tangent to the curve

f(x) = x^2-2x+1

Hur bör jag gå till väga för att lösa detta?

Du ska derivera först.


f(x) = x^2-2x+1

f ′(x) = 2x - 2

Sen räknar du ut f ′(5) så att du får reda på lutningen

f ′(5) = 2*5 - 2 = 8

K = 8

Nu har du k-värdet och du har två koordinater (5,7)

y = kx + m

7 = 8*5 + m
m = 7 - 40 = -33

Nu har du m och k så det är bara att s'tta in det i ekvationen y = kx + m

Svar: y = 8x - 33

Jag är inte så bra på att förklara men du fattar säkert?

Tack SGT.O

Det där var precis vad jag fick själv men frågar inte frågan om TVÅ styckna ekvationer?

Hm... aa juste fan.
Vart hittar du frågan? vad står det i boken?

Kurvan har väl bara en tangentlinje i den punkten? En kontinuerlig deriverbar kurva har bara en tangentlinje i varje punkt.

Jaha ok. Så svaret kräver bara en ekvation?

"Find the equations of the two lines that intersect at point (5,7) and are tangent to the curve"

De frågar efter två tangenter till funktionen f(x)=x^2-2x+1, dessa två tangenter ska mötas i punkt (5,7).

TS: Du har några olika villkor. k-värdet för båda skall vara 2x-2. Samtidigt ska de uppfylla att h(5)=7 om h(x) då är funktionen för tangenten. Hjälper detta dig?

Jag missuppfattade frågan lite, trodde att man skulle hitta ekvationen för tangenten till kurvan f(x)=x^2-2x+1.

Den är lite klurig som kräver mer tid, jag återkommer om jag löser den.

Ah, missuppfattade lite jag också.

Ansätt en linje:
y = kx + m

Linjen ska vara lika med funktionen i minst en punkt. Sätt lika med funktionen:
kx + m = x^2 - 2x + 1
<=>
x^2 - (2+k)x + (1 - m) = 0
<=>
(x - 1 - k/2)^2 + (1-m) - (1+k/2)^2 = 0
(x - 1 - k/2)^2 = -1 + m + 1 + 2k + k^2/4
(x - 1 - k/2)^2 = m + 2k + k^2/4

Vi vet även att
k = 2x - 2 (= f'(x) )
ty linjen är tangent till kurvan i den punkten. I föregående ekvation ger detta:
(x - 1 - (2x - 2)/2)^2 = m + 2(2x - 2) + (2x-2)^2/4
<=>
0 = m + 4x - 4 + (4x^2 - 8x + 4)/4 = m + 4x - 4 + x^2 - 2x + 1 =
= m + x^2 + 2x - 3
<=>
m = 3 - 2x - x^2

Vi vet att kurvan går genom punkten (5,7):
7 = 5k + m
Sätt in de framräknade värdena för k och m:
7 = 5(2x - 2) + 3 - 2x - x^2
Lös för x, då man får:
x = 4 +/- sqrt(2)
Vilket ger:
k_1 = 6 + 2sqrt(2)
k_2 = 6 - 2sqrt(2)
m_1 = -23 - 10sqrt(2)
m_2 = -23 + 10sqrt(2)

Som ger två linjer som möts i (5,7) och tangerar kurvan (för komplexa värden på x).