Att ersätta ett uttryck efter derivering kontra innan

Godkväll!

Jag har suttit och räknat ett tag nu och stött på något jag inte förstår och finner märkvärdigt.

Anta att vi har en kon där höjden = diametern (h=d)

Formeln för volym säger att V = pi r^2 h / 3
Jag är ute efter dV/dH.

Om jag nu deriverar först i avseende för h får jag:
V = pi r^2 / 3
Stoppar jag nu in h=d, som ger r = h/2, får jag:
V = pi h^2 / (3*4)
V = pi h^2 / 12

Om jag däremot ersätter r med h innan derivering:
V = pi r^2 h / 3
V = pi h^3 / 12
Och sedan deriverar:
V = pi h^2 / 4

Där ses mitt dilemma, då pi h^2 / 4 ==/== pi h^2 / 12

Orsaken till att jag reagerar på detta är för att i en uppgift fick jag fram rätt svar genom att derivera på första sättet (då en kon) och i en annan fick jag rätt genom det andra sättet (då en cylinder). Förmodar att jag missat något viktigt i förståelsen :/


Uppskattar all hjälp!

en kub har volymen V(x) = x³, där x är sidan

Menade kon*. Redigerat.

Du missar den inre derivatan!

Om V = pi * r^2 * h/3 där r beror av h så står det ju:

V = pi * r(h)^2 * (h/3) så vi måste behandla r(h) som en funktion som har en inre derivata!

dV/dh = pi * r(h)^2 * (1/3) + pi * 2 * r(h) * (dr/dh) * (h/3)

Men dr/dh = (1/2) från r = r(h) = h/2 så vi har:

dV/dh = pi * (h/2)^2*(1/3) + pi * 2 * (h/2) * (1/2) * (h/3)
dV/dh = pi * h^2/4 * (1/3) + pi * h^2/6

Så dV/dh = pi * h^2 * (1/12 + 1/6), men 1/12 + 1/6 = 1/4 så dV/dh = pi * h^2/4 är svaret. Om du ej tar hänsyn till inre derivatan på (1/2) så blir allting fel... Om du istället gjort från början:

V = pi * r^2 * (h/3), men r = (h/2) ger oss:
V = pi * (h/2)^2 * (h/3) = pi * h^3/12 så dV/dh = 3 * pi * h^2/12 = pi * h^2/4.

Tackar!! Utmärkt förklarat!!