Hjälp: Matte E - Komplexa tal

Hallå!

Behöver hjälp med följande uppgifter inom komplexa tal:

1. Bestäm det reella talet y så att talet 1/(1+i) + 1/(1+yi) blir reellt.

2. Visa att om z= -1-3i så är z^3+3z^2+12z+10=0

3. Är det möjligt att bestämma den reella konstanten a så att z=2+i är en rot till ekvationen z^3+az^2+13z-10=0?

4. Konstruera en andragradsekvation som har lösningarna z1=1+2i och z2=3+4i

5. De komplexa talen z, u och v är sådana att 1/z + 1/u = 1/v
Bestäm z i formen a+bi om u=2+3i och v=3+4i

6. För vilket komplext tal z är arg z = 5pi/4 och |z|=10?


Vill gärna ha utförliga lösningar som jag kan följa och inga "länktips" eller så. Har matteboken tillgänglig men jag förstår inte dessa uppgifter.

Utförliga uträkningar som gäller! :)

1. Börja med att förlänga med konjugatet så får vi se vad det tar oss:

z = 1/(1 + i) + 1/(1 + yi) = (1 - i)/2 + (1 - yi)/(1 + y²) = 1/2 - i/2 + 1/(1 + y²) - yi/(1 + y²)

Vi ser att - i/2 - yi/(1 + y²) = 0 så blir talet reellt eftersom allt imaginärt försvinner från det komplexa talet z.

Jag orkar inte lösa ekvationen, men något viskade i mitt öra att x = -1 fixar biffen.

2. Bara att stoppa in i ekvationen och förenkla.

f(z) ⇒ (-1-3i)³ + 3(-1-3i)² + 12(-1-3i) + 10 = 0

3. Det är det säkert. Jag föreslår att du provar med polynomdivision och då kommer du förmodligen få fram en rest med konstanten a inblandad. Sätt villkoret att hela resten = 0 och lös för a.

4. Bara stoppa in dina rötter i faktorer och utveckla.

(z - 1 - 2i)(z - 3 - 4i) = 0

lånar tråden lite...

visa att om z=x+iy , x och y är reella tal, så är |e^z| = e^x. samt vad är arge^x ?

z = x + iy

e^z = e^(x + iy) = e^x * e^iy = e^x *(cosy + isiny)
|e^z| = |e^x *(cosy + isiny)| = |e^x|*|cosy + isiny| = |e^x|*(cos²y + sin²y) = |e^x|*1 = |e^x| QED.

arg(e^x) = 0

hur får man |cosy + isiny| = cos²y + sin²y ??
i boken finns ingen genomgång av det som skall visas, det enda som står i facit på uppgiften är: y + 2*k*pi, k...heltal

Fattar inte

Tänk dig det komplexa talplanet och ett komplext tal i polär form:

z = cosφ + isinφ

Vad betyder detta då? Jo, cosφ är ju realdelen, "delen" av det komplexa talet på real-axeln (eller x-axeln). Och sinφ är ju imaginärdelen, delen av det komplexa talet på imaginär-axeln (eller y-axeln).

Beloppet av |z| är ju som bekant avståndet från origo till detta komplexa talet, och vi kan ju se cosφ och sinφ som katetrar i en rätvinklig triangel, varvid √(cos²φ + sin²φ) är längden av hypotenusan (missade därmed rottecknet). Enligt den trigonometriska ettan är ju cos²φ + sin²φ = 1 ⇒ √(cos²φ + sin²φ) = √1 = 1.

ja, nu är jag med på noterna!
men argumentet då?

Lite tillägg till Otroligs (plus lite mer):

3. Om a är reell och z = 2 + i är en rot är även conj(z) = 2 - i en rot så polynomet är delbart med (z - 2 - i)(z - 2 + i), förenkla detta uttryck och dividera sen polynomet med det.

5. Om 1/z + 1/u = 1/v är 1/z = 1/v - 1/u, hitta fram vad 1/v - 1/u är och vänd upp och ner på det och förenkla sen. Kan du vad 1/v och vad 1/u blir?

6. Ett komplext tal kan skrivas r*(cos v + i*sin v)där v är argumentet för talet och r längden, så det blir 10*(cos(5pi/4) + i*sin(5pi/4)) förenkla detta så är du klar.

Argumentet är vinkeln fi. Det är fördelen med polär form, man får argumentet på köpet.

Argumentet av e^x är ju lätt: Det är ett rent reelt tal som är positivt - argumentet måste vara 0!

ah, true that!

tackar så länge och fortsätter mala på

förresten.. wolfram alpha var på min sida så det behövs inte =)