Gränsvärde, problem med förenkling

Ska beräkna gränsvärdet av sqrt(x²+x)-x
då x->∞ samt x->-∞

börjat med skriva om det som sqrt(x(x+1))-x
men sen vet jag inte hur jag ska nysta upp det mer..

Någon uppesittare som sitter på kunskap?

EDIT: lyckades mha konjugatförlängning. Glöm tråden

Förläng med konjugatet:
√(x²+x) - x = (√(x²+x) - x) / ((√(x²+x) - x)(√(x²+x) + x))
= (√(x²+x) - x) / ((x²+x) - x²) = (√(x²+x) - x) / x
= (|x|√(1+1/x) - x) / x = (|x|/x) √(1+1/x) - 1
= sign(x) √(1+1/x) - 1 → (±1) √(1+0) - 1 = (±1) - 1
= 0 för x > 0 (dvs fallet x → +∞)
= -2 för x < 0 (dvs fallet x → -∞)

I andra fallet kan du ansätta att -x = t och räkna med gränsvärdet t → ∞ om du föredrar det.

Nja, jag fick det att bli 1/2 när x → ∞ och ∞ när x → -∞.

Lyckades komma en liten bit, hade tänkt mig att använda squeeze theorem eller vad det nu heter.

x → +∞
sqrt(x^2+x)-x > sqrt((x+0.5)^2)-x>= x+0.5-x =0.5

sen lyckades jag inte lista ut hur

sqrt(x^2+x)-x <= .....<= 0.5

Kapar tråden lite. Hur kan man räkna ut gränsvärdet av ln(x + x³)/ln(x² + x^4) när x → 0 samt ∞? Man får tyvärr inte använda l'Hôpitals regel.

ln(x + x^3) = ln(x(1+x^2))= ln(x) + ln(1 + x^2)
ln(x^2 + x^4)=ln(x^2(1+x^2)) = 2ln(x) + ln(1 + x^2)

=>

(ln(x) + ln(1 + x^2))/(2ln(x) + ln(1 + x^2))

Här bryter du ut ln(x) i täljare och 2ln(x) i nämnare. För att se gränsvärde när x->0

edit: när x-> inf:

ln(x + x^3) = ln(x^3(1/x^2+1))= 3ln(x) + ln(1/x^2+1)
ln(x^2 + x^4)=ln(x^4(1/x^2+1)) = 4ln(x) + ln(1/x^2+1)

(3ln(x) + ln(1/x^2+1))/(4ln(x) + ln(1/x^2+1))
bryt ut 3ln(x) ur täljare och 4ln(x) ur nämnare. Så ser du svaret.

Jag måste ha varit snurrig... Så här skulle det förstås vara:
√(x²+x) - x = (√(x²+x) - x)(√(x²+x) + x) / (√(x²+x) + x)
= ((x²+x) - x²) / (√(x²+x) + x) = x / (√(x²+x) + x)
= x / (|x|√(1+1/x) + x) = 1 / (sign(x) √(1+1/x) + 1)
→ 1 / ((±1) + 1)
= 1/2 för x > 0 (dvs fallet x → +∞)
= ∞ för x < 0 (dvs fallet x → -∞)

Alternativt:
√(x²+x) - x = |x| √(1+1/x) - x = |x| (1 + (1/2)1/x + O(1/x²)) - x
= (|x|-x) + (1/2) sign(x) + O(1/x)
→ 0 + 1/2 + 0 = 1/2 för x > 0 (dvs fallet x → +∞)
→ ∞ - 1/2 + 0 = ∞ för x < 0 (dvs fallet x → -∞)

Kapar återigen tråden, har några abstrakta extrauppgifter jag behöver lite hjälp med.

Är f(x) en kontinuerlig funktion för x ≥0 om n → ∞?

a) f(x) = (x^n)/(1 + x^n)
b) (x + x² + ... + x^n)/(1 + x + ... + x^n)

Hjälp och tips uppskattas!

x^n/(1+x^n)=(x^n+1-1)/(x^n+1)=1-1/(x^n+1)
Vi får problem. Det högra uttrycket går mot 1 då |x|<1 men 0 då |x|>1. Det blir ett hopp där och det skiter sig. Funkt. ej kontinuerlig.

(x+x^2+...x^n)/(1+x+...x^n)=x(1+x+...x^n-1)/(1+x+...x^n)=x(1+x+...x^n-1+x^n-x^n)/(1+x+...x^n)=x(1-x^n/(1+x+...x^n))=x-x^(n+1)/(1+x+...x^n)=x-x(x^n/(x^n*(1/x^n+1/x^(n-1)+1/x^(n-2)...+1)=x-x/(1/x^n+1/x^(n-1)+1/x^(n-2)...+1)

Således måste 1/x^n, 1/x^(n-1) osv. gå mot 0 då n går mot ∞ om |x|>1, vi får bara 1 kvar i nämnaren och uttrycket blir av formen x-x. Om |x|<1 så går dessa uttryck istället mot ∞ och uttrycket blir x.

Problemet är nu att om x-x=0 så blir funktionen diskontinuerlig vid x=1. Men när jag grafar upp ser det ut att gå mot: f(x)= x om |x|<1, 1 om |x|>1, kontinuerligt.

Det man skulle behöva göra är att på ett rigoröst sätt beräkna gränsvärdet lim_x→∞ lim_n→∞ x-x/(sum_{i=0}^{n}x^-i)

Men det kan jag inte.

För x ≠ 1 gäller:
(x + x² + ... + x^n)/(1 + x + ... + x^n) = x(1 + x + ... + x^(n-1))/(1 + x + ... + x^n)
= x((1-x^n)/(1-x))/((1-x^(n+1))/(1-x)) = x(1-x^n)/(1-x^(n+1))

För |x| < 1 gäller
x(1-x^n)/(1-x^(n+1)) → x(1-0)/(1-0) = x

För |x| > 1 gäller
x(1-x^n)/(1-x^(n+1)) = x(1/x^n-1)/(1/x^n-x) → x(0-1)/(0-x) = 1

För x = -1 gäller
x(1-x^n)/(1-x^(n+1)) = (-1)(1-(-1)^n)/(1-(-1)^(n+1))
= [om n jämnt] = (-1)*(1-1)/(1-(-1)) = (-1)*0/2 = 0,
= [om n udda] = (-1)*(1-(-1))/(1-1) = (-1)*2/0 = odefinierat (möjligtvis ∞)
Så gränsvärdet är odefinierat för x = -1.

För x = 1 gäller
(x + x² + ... + x^n)/(1 + x + ... + x^n) = (1 + 1² + ... + 1^n)/(1 + 1 + ... + 1^n) = n/n = 1.
Gränsvärdet är alltså 1 för x = 1.

Vi får alltså att gränsvärdet blir
odefinierat för x = -1
1 för x = 1
x för |x| < 1
1 för |x| > 1

Begränsat till x ≥ 0 blir gränsvärdet därför en kontinuerlig funktion.

Någon som har något tips på lim x → 1 cos(πx/2)/ln(x²) så jag kan bli knuffad i rätt riktning? Man får inte använda l'Hôpitals regel.