probability current in presence of magnetic field

Ska nog fundera på dina rader men jag forsätter hellre på det jag redan har börjat. ser du ett fel någonstans i min uträkning?

Utveckla Hamiltonianen (utan skalärfältet) och skriv ned tidsberoende Schrödingerekvationen samt dess komplexa konjugat (skiver h men menar h-streck och del får beteckna nabla-operatorn och punkt inre produkt)

ih∂ψ/∂t = -h²/(2m)del² ψ + (ihq/m)A.del ψ + q²/(2m)A²ψ + ihq/(2m)(del A)ψ
-ih∂ψ*/∂t = -h²/(2m)del² ψ - (ihq/m)A.del ψ* + q²/(2m)A²ψ - ihq/(2m)(del A)ψ*

Välj gauge så att del A = 0 (alltid möjligt) så slipper vi bry oss om den termen. Nu har man

ih(ψ*∂ψ/∂t+ψ∂ψ*/∂t) = -h²/(2m)ψ*del² ψ + (ihq/m)ψ*A.del ψ + q²/(2m)A²ψ +h²/(2m)ψdel² ψ* + (ihq/m)ψA.del ψ* - q²/(2m)A²ψ = -h²/(2m)ψ*del² ψ + (ihq/m)ψ*A.del ψ + h²/(2m)ψdel² ψ* + (ihq/m)ψA.del ψ*

och alltså (struntar i integraltecken)

dP/dt = ψ*∂ψ/∂t+ψ∂ψ*/∂t = ih/(2m)ψ*del² ψ + (q/m)ψ*A.del ψ - ih/(2m)ψdel² ψ* + (q/m)ψA.del ψ*.

Sätt nu

j = (1/m)Re(ψ*(-ihdel - qA)ψ) = 1/(2m)(ψ*(-ihdel -qA)ψ + ψ(ihdel - qA)ψ*).

Notera att Re(z) = 1/2(z + z*) och att vi i detta fall konjugerar även operatorn. Divergensen blir

del j = 1/(2m)[(del ψ*)(-ihdel ψ - qAψ) + ψ*(-ihdel² ψ -qA.del ψ) + (del ψ)(ihdel ψ* - qAψ*) + ψ(ihdel² ψ* -qA.del ψ*) ]
= 1/(2m)[-ih(del ψ*)(del ψ) - qψA.del ψ* - ihψ*del² ψ - qψ*A.del ψ + ih(del ψ)(del ψ*) - qψ*A.del ψ + ihψdel² ψ* - qψA.del ψ*]
= -ih/(2m)ψ*del² ψ - (q/m)ψ*A.del ψ + ih/(2m)ψdel² ψ* - (q/m)ψA.del ψ*
= - dP/dt.

Vilket skulle visas.

EDIT: Notera att jag menar att det står fel på wikipedia. Den sista ekvationen j = 1/(2m)(ψ*Pψ - ψPψ*) gäller bara om P är rent imaginär som i fallet utan magnetfält. Det borde stå j = 1/(2m)(ψ*Pψ + ψP*ψ*).

Nej har inte använt wikipedia alls tack och lov. Jag undrar om de övre utrycken stämmer. Ska det inte vara komplex konjugat på hela andra raden samt delat med 2möveralt? du har glömt en 2:a möjlightvis. ska det vara så?

Ja, jag ser att jag glömt * på två ψ i den undre raden men annars ska det vara korrekt. Jag har delat med 2m. Om vi tittar på Hamiltonianens verkan på vågfunktionen i några steg fås

Hψ = 1/(2m)(p-qA)²ψ
= 1/(2m)(-ihdel - qA)(-ihdel - qA)ψ
= 1/(2m)(-ihdel - qA)(-ihdel ψ - qAψ)
= 1/(2m)(-h²del² ψ + ihqdel(Aψ) + ihqA.del ψ + q²A²ψ)
= 1/(2m)(-h²del² ψ + ihq(del A)ψ + ihqA.del ψ + ihqA.del ψ + q²A²ψ)
= 1/(2m)(-h²del² ψ + ihq(del A)ψ + 2ihqA.del ψ + q²A²ψ)
= -h²/(2m)del² ψ + ihq/(2m)(del A)ψ + (ihq/m)A.del ψ + q²/(2m)A²ψ

vilket är det jag skrev.