probability current in presence of magnetic field

Här kommer en inlämningsuppgift som har förstört min helg. Men hoppet finns kvar.

Jag har inga problem att härleda "probability current" som i http://en.wikipedia.org/wiki/Probability_current

Det som jag har suttit flera dagar med nu är sista biten på wikipedia sidan.
"Definition in an external field"

Jag får helt enkelt inte ihop det. Genom att ersätta hamiltonianen p^2/2m + V med den i fallet där vi har en magnetisk fält: 1/2m(p-qA(r))^2 -q(fi(r)) (enligt min inlämningsuppgift) får jag inte rätt svar. svaret ska vara J=1/mRE{psi*[p-qA(r)]psi}. Jag får J=1/mRE{psi*[p-2qA(r)]psi}. Tvåan ska bort på nått sätt.

Om det är någon som kan hjälpa mig på traven hojta till så kan jag berätta hur långt jag har kommit + lite mer detajer om d behövs.

Visa dina beräkningar.

Här följer de:


psi(r)=psi=vågfunktionen
H=Hamiltonian
P(r,t)=P= probability density
p=momentum operator = -ih delta
q=charge
A(r)=vector potential
fi(r)=elektriska eller magentiska fältet (ej säker vilken men d är inte så viktigt för den försvinner i uträkningen nedan)
J(r)=probability current

ih d/dt psi = H psi = [1/2m(p - qA(r))^2 +q fi(r)]psi (1)

-ih d/dt psi* = H psi* = [1/2m(p - qA(r))^2 +q fi(r)]psi* (2)

ih d/dt P = ih d/dt psi*psi = ih (psi d/dt psi* + psi*d/dt psi) =

= (1) & (2) =

= 1/2m {psi*[(p - qA(r))^2 +q fi(r)]psi - psi[(p - qA(r))^2 +q fi(r)]psi*}

= 1/2m {psi*[(p^2 - 2pqA(r) + q^2 A(r)^2) +q fi(r)]psi - psi[(p^2 - 2pqA(r) + q^2 A(r)^2) +q fi(r)]psi*}

= 1/2m {psi*[(-h^2delta^2 + 2ih delta qA(r) +q^2 A(r)^2) +q fi(r)]psi - psi[(-h^2delta^2 + 2ih delta qA(r) +q^2 A(r)^2) +q fi(r)]psi*}

här försvinner termerna: q^2A(r)^2 och q fi(r) för om man tar ut de blir de q^2A(r)^2 psi*psi - q^2A(r)^2 psi psi* = 0 och q fi(r)psi*psi - q fi(r)psi psi* = 0

Vi har:

ih d/dt P = 1/2m {psi*[(-h^2delta^2 + 2ih delta qA(r))]psi - psi[(-h^2delta^2 + 2ih delta qA(r))]psi*}

d/dt P = 1/2m {psi*[(ih delta^2 + 2delta qA(r))]psi - psi[(ih delta^2 + 2delta qA(r))]psi*}

d/dt P = delta 1/2m {psi*[(ih delta + 2qA(r))]psi - psi[(ih delta + 2qA(r))]psi*}

d/dt P = - delta 1/2m {psi*[(p - 2qA(r))]psi - psi[(p - 2qA(r))]psi*}

d/dt P + delta J(r) = 0 (continuity equation)

i mitt fall blir alltså J = 1/2m {psi*[(p - 2qA(r))]psi - psi[(p - 2qA(r))]psi*}

eller J = 1/m Re{psi*(p - 2qA(r))psi}

som sagt ska 2:an innan qA(r) bort. =(

Ser du nått jag har missat?

För att förtydliga är ekvationer (1) och (2) Shrödingers ekvation och dess komplex konjugat.

(p - qA(r))^2 = p^2 - 2pqA(r) + q^2 A(r)^2 är inte korrekt.

jo, insåg det tidigare. Men tack. slarvigt av mig. Sitter med uppgiften nu och försöker få det att fungera. verkar ändå krångligt.

EDIT: Jag får det till det här:

(p - qA(r))² = p² -pqA(r) - qA(r)p + q²A(r)² = -h²nabla² + ihq nabla A(r) + qA(r)ih nabla +q²A(r)²

in satt i sin motvarande ekvation blir det:

ψ*[-h²nabla²]ψ + ψ*[ihq nabla A(r)]ψ + ψ*[qA(r)ih nabla]ψ +ψ*[q²A(r)²]ψ - ψ[-h²nabla²]ψ* - ψ[ihq nabla A(r)]ψ* - ψ[qA(r)ih nabla]ψ* - ψ[q²A(r)²]ψ* = ih∂/∂tP

ψ*[q²A(r)²]ψ - ψ[q²A(r)²]ψ* försvinner.

Problemet kvarstår nu med avseende på ψ*[qA(r)ih nabla]ψ och ψ[qA(r)ih nabla]ψ* eller ψ*[ihq nabla A(r)]ψ och ψ[ihq nabla A(r)]ψ* som ska försvinna. Två av termerna ska bort men vet inte vilka, varför eller äns hur.

Ps: uppgiften ska in imon

Det är någon egenskap hos nabla operatorn eller divergens operatorn som jag missar här...tror jag.

Jag tror att det är så här:

ψ*[ihq nabla A(r)]ψ - ψ[ihq nabla A(r)]ψ* försvinner för att nabla bara opererar på A(r). då blir båda termer lika.

I fallet ψ*[qA(r)ih nabla]ψ och ψ[qA(r)ih nabla]ψ* operarar nablan på två olika funktioner och termerna blir inte lika. Därmed är de kvar.

Kan någon bekräfta att detta stämmer? För att nablan i första fallet kankse verkar på A(r) och ψ*/ψ och då är mitt antagande fel.

Jag tror att nabla opererar på allt till höger, och i så fall blir det
ψ*[ihq nabla A(r)]ψ - ψ[ihq nabla A(r)]ψ* =
= ihq ψ* ψ nabla A(r) + ihq A(r) ψ* nabla ψ - ihq ψ ψ* nabla A(r) - ihq A(r) ψ nabla ψ*
= ihq A(r) ( ψ* nabla ψ - ψ nabla ψ* )


ψ* [qA(r) ih nabla] ψ - ψ [qA(r) ih nabla] ψ* =
= ihq A(r) ψ* nabla ψ - ihq A(r) ψ nabla ψ*
= ihq A(r) ( ψ* nabla ψ - ψ nabla ψ* )

Utveckla Hamiltonianen (utan skalärfältet) och skriv ned tidsberoende Schrödingerekvationen samt dess komplexa konjugat (skiver h men menar h-streck och del får beteckna nabla-operatorn och punkt inre produkt)

ih∂ψ/∂t = -h²/(2m)del² ψ + (ihq/m)A.del ψ + q²/(2m)A²ψ + ihq/(2m)(del A)ψ
-ih∂ψ*/∂t = -h²/(2m)del² ψ - (ihq/m)A.del ψ* + q²/(2m)A²ψ - ihq/(2m)(del A)ψ*

Välj gauge så att del A = 0 (alltid möjligt) så slipper vi bry oss om den termen. Nu har man

ih(ψ*∂ψ/∂t+ψ∂ψ*/∂t) = -h²/(2m)ψ*del² ψ + (ihq/m)ψ*A.del ψ + q²/(2m)A²ψ +h²/(2m)ψdel² ψ* + (ihq/m)ψA.del ψ* - q²/(2m)A²ψ = -h²/(2m)ψ*del² ψ + (ihq/m)ψ*A.del ψ + h²/(2m)ψdel² ψ* + (ihq/m)ψA.del ψ*

och alltså (struntar i integraltecken)

dP/dt = ψ*∂ψ/∂t+ψ∂ψ*/∂t = ih/(2m)ψ*del² ψ + (q/m)ψ*A.del ψ - ih/(2m)ψdel² ψ* + (q/m)ψA.del ψ*.

Sätt nu

j = (1/m)Re(ψ*(-ihdel - qA)ψ) = 1/(2m)(ψ*(-ihdel -qA)ψ + ψ(ihdel - qA)ψ*).

Notera att Re(z) = 1/2(z + z*) och att vi i detta fall konjugerar även operatorn. Divergensen blir

del j = 1/(2m)[(del ψ*)(-ihdel ψ - qAψ) + ψ*(-ihdel² ψ -qA.del ψ) + (del ψ)(ihdel ψ* - qAψ*) + ψ(ihdel² ψ* -qA.del ψ*) ]
= 1/(2m)[-ih(del ψ*)(del ψ) - qψA.del ψ* - ihψ*del² ψ - qψ*A.del ψ + ih(del ψ)(del ψ*) - qψ*A.del ψ + ihψdel² ψ* - qψA.del ψ*]
= -ih/(2m)ψ*del² ψ - (q/m)ψ*A.del ψ + ih/(2m)ψdel² ψ* - (q/m)ψA.del ψ*
= - dP/dt.

Vilket skulle visas.

EDIT: Notera att jag menar att det står fel på wikipedia. Den sista ekvationen j = 1/(2m)(ψ*Pψ - ψPψ*) gäller bara om P är rent imaginär som i fallet utan magnetfält. Det borde stå j = 1/(2m)(ψ*Pψ + ψP*ψ*).

Ska nog fundera på dina rader men jag forsätter hellre på det jag redan har börjat. ser du ett fel någonstans i min uträkning?

attans. trode faktiskt att jag hade klarat av uppgiften en stund där. aja ska testa dina rader imon bitti.
skiter det sig kan jag alltid ta evolutes uträkning. Tänk om det är han som är min lärare...?