Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess?

Hej!
Är det någon som har lust och tid att förklara de olika stegen vid Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess för mig? Boken jag har är så förvirrande. Tack

Är det Kontinuerliga System av Sparr du har? : )
Jag hade nog den när jag sysslade med sådant. Av någon anledning så är svenska författare till kurslitteratur i matematik generellt sett oerhört dåliga.

Ta en vektor u, normera den(e1). Projicera en annan vektor v på e1. Dra ifrån v|| från v, så har du v|. Normera denna (e2).

Har du en tredje vektor w som du behöver ortogonalisera, projicera denna på e1 och e2 var för sig för att få fram w||. Detta är då den del av w som är parallell mot planet du har bildat med e1, e2. Dra w|| från w för att bilda w|, normera och du har en tredje basvektor (e3). Dessa bör vara ortogonala och du kan kontrollera detta med skalärprodukten som ska vara 0 mellan alla basvektorer.

Fortsätt i hjärtans lust tills du har byggt upp din bas om du har fler än 3 dimensioner.

Förhoppningsvis vet du motivet bakom den och vad man vill åstadkomma. För enkelhetens skull kan vi ju ta och arbeta i R³ där vi vill ortogonalisera vektorerna u = (1, 2, 0) v = (0, 2, 1) och w = (1, 1, 0) som spänner upp rummet. Vi vill skapa en ON-bas utifrån dessa, alltså e1, e2 och e3 som alla är parvis ortogonala och har normen 1.

Vi börjar med u, den kan vi hela enkelt skala ner och dela på sin längd.

e1 = u/||u|| = (1, 2, 0)/√(5) = (1/√5, 2/√5, 0)

Nu börjar processen som har några viktiga steg:
(1) Om den vektor du vill skapa en bas för inte är ortogonal mot alla dina andra vektorer som du har tagit fram måste vi göra den ortogonal. Härur detta följer att vi projicerar i detta fall v mot e1. Titta noggrant på denna bild: http://i34.tinypic.com/2q0ojs2.jpg

v|| = (v|e1)e1 = ((0, 2, 1)•(1/√5, 2/√5, 0))e1 = 4/√5*e1
= (4/5, 8/5, 0)

(2) Vektoraddition för att få fram den ortogonala vektorn!

v⊥ = v - v|| = (0, 2, 1) - (4/5, 8/5, 0) = (-4/5, 2/5, 1)

(3) Normera till längden 1!
e2 = v⊥/|v⊥| = (-4/5, 2/5, 1)/(3/√5) = (-4√(5)/15, -2√(5)/15, √(5)/3)

Processen fortsätter i samma manér för att få fram den tredje vektorn, bara att du nu kommer att projicera w på två vektorer.

w|| = (w|e1)e1 + (w|e2)e2

Om du skulle hålla på i ett Euklidiskt rum med n dimensioner, och du håller på att ortogonalisera den sista vektorn, så ser det ut såhär om du har vektorn u:

u|| = (u|e1)e1 + (u|e2)e2 + .... + (u|e_(n-1))e_(n1)

Lycka till! Förstår egentligen inte att jag orkar hålla på med den här Linjära Algebran, är alldeles mör efter kontrollskrivning i det idag där vi faktiskt hade GS-O! Rolig dock när man får rätt. Och vilket trevligt 2000:e inlägg.

många säger det och det stämmer nog, men man lär sig bäst när man väl försöker lära andra. Jag skall börja med det här i FB.

Jag har läst Linjär Algebra 2 men kommer inte ihåg t.ex. det här ovan du beskrev men om jag lär mig det om igen och försöker hjälpa någon annan så tror jag nog att jag aldrig glömmer det.

Det är faktiskt sant - kan man inte lära ut någonting har man inte förstått det.

Även om jag bara läst gymnasiematematik, men siktar på civ.ingenjör efter jag slamsat av mig lite runt om i världen, så håller jag med! Då man kan förklara någonting för någon annan, det är då man förstått vad man gör.
Tycker denna del på FB är enormt bra då man lär sig mycket!