Citat:
Ursprungligen postat av
apex-nereid
Följden a0, a1,a2...ges rekursivt av att a1=0 och a(n+1)=1/2(1+a²n) då n är strikt större än 1. Bevisa att följden är växande och begränsad. Motivera också varför följden konvergerar samt beräkna dess gränsvärde. Vad händer om vi i definitionen av följden byter ut villkoret a1=0 mot a1=2?
(och ja, talen framför a samt n ska vara nedsänkt men jag är dålig och vet inte hur jag åstakommer detta)
Finns säkert flera sätt att göra detta på, men…
\[
a_{n+1}=\frac{1}{2}(1+a_n^2),\qquad a_1=0.
\]
"a)" \(a_n<1\).
\(a_1=0<1\). Antag att det gäller för \(n\), d.v.s. \(a_n<1\).
\[
a_{n+1}
=\frac{1}{2}(1+a_n^2)
<\quad\text{[induktionsantagande]}\quad
<\frac{1}{2}(1+1^2)
=1.
\]
Alltså är \(a_n<1\) för alla \(n\ge1\).
"b)" \(a_n\) växande.
\begin{align*}
a_{n+1}-a_n
&
=\frac{1}{2}(1+a_n^2)-a_n
=\frac{1}{2}(1+a_n^2)-\frac{1}{2}(1+a_{n-1}^2)
\\&
=\frac{1}{2}(a_n^2-a_{n-1}^2)
=\frac{1}{2}(a_n+a_{n-1})(a_n-a_{n-1})
\end{align*}
d.v.s.
\[
a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2}(a_n+a_{n-1})(a_n-a_{n-1}).\tag{1}
\]
\(a_1=0\) och \(a_2=1/2\) varför
\[
a_3-a_2=\frac{1}{2}(a_2+a_1)(a_2-a_1)>0.
\]
Antag att \(a_{n}-a_{n-1}>0\) för \(n\), då följer det direkt av (1) att det gäller för \(n+1\).
"c)" Gränsvärde.
Då \(a_n\) är växande och uppåt begränsad existerar \(\lim_{n\to\infty}a_n=a\). Vi har att
\[
a_{n+1}=\frac{1}{2}(1+a_n^2)
\quad\Leftrightarrow\quad
\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{1} {2}(1+a_n^2)
\quad\Leftrightarrow\quad
a=\frac{1}{2}(1+a^2)
\]
som har dubbelroten \(a=1\).
"d)" \(a_1=2\).
Antag \(a_n<M\) för något \(M>1\).
\[
a_{n+1}=\frac{1}{2}(1+a_n^2)<\frac{1}{2}(1+M^2) \not <M
\]
då
\[
(M-1)^2>0
\quad\Leftrightarrow\quad
M^2-2M+1>0
\quad\Leftrightarrow\quad
M^2+1>2M
\quad\Leftrightarrow\quad
\frac{1}{2}(M^2+1)>M.
\]
\(a_n\) är alltså ej begränsad, men växande, d.v.s. divergent.
