Stort problem som jag behöver hjälp med? (övergångsmatris)

En viss fakultet har tre sorters studenter; matematikstuderande, fysiker samt de som inte studerar något alls. Antalet studenter i respektive grupp kallar vi S1, S2 och S3.


Varje år så tar 10% av matematikerna och 20% av fysikerna paus och slutar studera (men är kvar på fakulteten), och det tillkommer 20% till matematikerna och 40% till fysikerna från de som inte studerar. Dessutom så inser vissa fysiker att matematik är jätteviktigt, så 20% av fysikerna flyttar över till matematiklinjen.

Vi kan beskriva detta med hjälp av en övergångsmatris A så att Xt+1=AXt där X0= (S1 S2 S3 ) .

a)

Bestäm A


Antag att vi har S1=100 matematikstudenter, S2=200 fysikstudenter samt S3=50 studenter som inte studerar.


b)

Hur är fördelningen efter ett år?


c)

Hur är fördelningen efter 10 år? (Avrunda till närmaste heltal.)


d)

Undersök om det finns någon stabil fördelning och bestäm denna i så fall.


Så här löste jag den, men vet fortfarande inte hur man löser den stabila fördelningen?

A)

X1 = X0 * A

(100 (100 (A1
180 = 200 * A2
70) 50) A3)


Då delar vi det så att vi får fram A

A = ( 0,5 0,9 0,35)



B)

Matte, 100 går mot 90 + 10 = 100
Fysik, 200 går mot 160 + 20 = 180
annat, 50 går mot 50 + 10 + 40, går mot 100-10-20 = 70

Efter ett år är matrissen (100
180
70)

C)

X2 = X1* A
X2 ( 90 162 63)

X3=( 81 145,8 56, 7)
x4= ( 78, 9 131,22 51,03)
X5= (65,61 118,098 46)
x6= ( 59 106 41)
x7= ( 53 96 37)
x8= ( 48 86 33)
x9= (43 77 30)
x10=( 38 69 27)



Svar X10 = (38 69 27)

D) Hur löser man denna?

Inte för att jag vet hur man löser uppgiften, men A måste väl ändå vara en 3x3-matris?

Där:
X1 = 0.9X0 + 0.2Y0 + 0.2Z0
Y1 = 0.6Y0 + 0.4Z0
Z1 = 0.1X0 + 0.2Z0 + 0.4Z0

Kan hända att mina kunskaper har blivit ett enda virrvarr, men intuitivt sa något mig att A borde se ut som ovan.

A är rätt och B är också rätt, men det är C och D som jag har problem med.
Hur löser man dem?

Har fastnat vid den här uppgiften i en månad snart

Kanske diagonalisering kan vara till hjälp.

Exakt. Matrisen A kan skrivas som A=V*D*inv(V) där D är en diagonalmatrix innehållande A:s egenvärden och V är en matris vars kolumner motsvarar A:s egenvektorer. Detta kan användas för att smidigare beräkna A^10, då vi har att A^10 = V*D*inv(V)*V*D*inv(V) ... = V*D^10*inv(V) och D^10 är som bekant enkelt att beräkna (diagonalmatris!).

Se mer på http://en.wikipedia.org/wiki/Eigende...on_of_a_matrix

Tillägg: angående stabil fördelning så undersök A^n när n->Inf.

Jag har inget problem med Matrissen, vill bara veta hur man räknar ut C) Och D)?

Huh? Har du läst mitt inlägg? Det är ju det jag försöker förklara.

C) Beräkna A^10*x0, där A^10 med fördel beräknas som beskrivet i mitt tidigare inlägg.
D) Beräkna V*D^n*inv(V)*x0 där n->Inf

Yes jag har läst det, kan du snälla visa mig hur du räknar ut det och vad resultatet blir.

Jag har gjort det 6 ggr nu och det blir fel varje gång.

Det blir lättare att hjälpa till om du förklarar exakt vilket steg/vad du fastnar på.

1. Hitta matrisen As egenvärden λ genom att lösa det(A-λI)=0
2. Hitta matrisen As egenvektorer x genom att lösa (A-λI)x=0
3. Konstruera diagonalmatrisen D med As egenvärden längs diagonalen.
4. Konstruera matrisen V med As egenvektorer som kolumner.
5. Beräkna inv(V).
6. (Nu kan du kontrollräkna så att det stämmer att A = V*D*inv(V) ).
7. Svaret på C) fås genom att beräkna V*D^10*inv(V)*x0.
8. Svaret på D) fås genom att beräkna V*D^n*inv(V)*x0 där n->Inf.

Mer om egenvärden och egenvektorer (på svenska denna gång):http://sv.wikipedia.org/wiki/Egenv%C3%A4rde,_egenvektor

C) (0,5^10, 0,9^10, 0,35^10) * x0?

är jag på rätt väg?

Jag förstår inte ens vad du menar. Du kan inte multiplicera två radvektorer med varandra så: nej, du verkar inte vara på rätt väg.

A är en 3x3-matris (precis som hinken78 skriver) med egenvärdena 0.2, 1 och 0.7. Om du löser det(A-λI)=0 ska du komma fram till dessa egenvärden. Gör du det?

Det hela var fel, det stämmer. Du har rätt. Så här ska hela lösningen se ut.
Jag sa tidigare att fråga A och B var rätt, men de var fel


a) A ska vara en tre gånger tre matris eftersom det förekommer tre x som du säger.

b)Jag ska skriva upp ett schema för s1, s2, och s3.
Det kommer sedan likna ett ekvationssystem som jag måste beräkna.
Lättast är nog att först sätta t.ex.
de som kommer från matematik får beteckningen x, de som kommer från fysik får beteckningen y och de som kommer från studenter som inte läser någon kurs får beteckningen z.
Därmed kan jag säga att s1=100+a*x-b*y. Det gäller att hålla tungan rätt i mun när jag gör detta.
Mitt sista svar 70 är rätt, men de andra två är fel.

c) Jag har tänkt på rätt sätt, men det blir följdfel från a) och b).

d) Det stämmer att jag ska hitta egenvektorerna. Då jag har fått ut fel matris som a) blir det följdfel.


Jag vet så långt hur man räknar det, men jag vet inte var felet blir eller följdfelet.

V = [0 0. 8742 0 ]
> 1 -0,4856 -0,3624
> 0 0 0,9320
>
> D= [0.9 0 0]
> 0 0 0
> 0 0 0
>
> Inv(v) [0,5556 1 0,3889]
> 1,1440 0 0
> 0 0 1,0730
>
> A10 = [0]
> 96
> 0
>
> An[0]
> 0
> 0



Är jag på rätt väg nu?