ma d - svårt

http://img16.imageshack.us/img16/609/sn … 091019.jpg

det ska stå -(n+1) där det inte riktigt syns.

Frågan går: Den n:te derivatan till funktionen y=f(x) betecknas y^n. Finn ett uttryck för y^n, om y=1/x.

Det jag inte riktigt förstår är hur det blir som det blir med (-1)^2 ^3 ^n osv. Jag skulle ha glömt att upphöja ett till något om jag inte tittat på facit. Varför blir det som det blir?

Bilden funkar inte för mig.

http://img16.imageshack.us/img16/609...ot20091019.jpg

Derivatan av x^(-n) är ju (-n)*x^(-(n+1)), sen kan -n skrivas som (-1)*n. Detta för att enkelt visa att det byter tecken hela tiden.

det är upphöjt till n.

Varje gång du deriverar flyger det ut en (-1)-faktor, därmed får du upphöjt till n.

y = x^(-1)
y' = (-1) * x^(-1 - 1)
y'' = (-1)(-2) * x^(-1 - 2)
y^3 = (-1)(-2)(-3) x^(-1 - 3)

Det verkar alltså som att exponenten blir x^(-1 - n) för n:te derivatan och att framför detta står (-1)(-2)(-3)... * (-n) så vi har:

y^n = (-1)(-2)(-3)... * (-n) x^(-1 - n)

Men (-1)(-2)(-3) ... * (-n) = (-1)^n*(1*2*3*...*n), vidare har man döpt 1*2*3*...*n till n! så man får:

y^n = (-1)^n*n!*x^(-1-n)

Kan du generalisera detta resultat till n:te derivatan av x^k?