Z-transform

Har fått lite hjärnsläpp så jag tänkte jag skyfflar över problemet på er...

Man ska lösa differensekvationen

u(k+2)-5u(k+1)+6u(k)=2^k, k=0,1,... givet u(0)=u(1)=0.

Som sig bör har jag z-transformerat och kommit fram till (def. U(z):=Z[u(k)](z))

U(z) = z(1/(z-2)/(z-3)(z-2))

dvs. 1/(z-2) i täljaren och (z-3)(z-2) i nämnaren. Skamligt nog är det på partialbråksuppdelningen jag faller så om någon kan hjälpa mig där är jag glad

hmmmm...det var längesen, men jag har för mig att man kan lösa dessa med karartäristisk ekvation typ
r^2-5r+6=0
som ger allmän lösning u(k)=A*r^k+B*r^k
samt partikulärlösning med ansats
u(k)=C*2^k insatt i ekvationen vilken ger C.

Sen adderar man ihop dessa lösningar och tillsist bestämmer man A och B med begynnelsevillkoren.

I princip som vanliga differentialekvationer med inhomogent hörgerled?

hmmmmm...nu ser jag att du försöker att lösa med något typ LaPlace, fast för diskreta problem, dvs Z-transform.


du har 1/((z-3)(z-2)^2)

Jag tror ansatsen blir:

1/((z-3)(z-2)^2)=A/(z-3)+(Bz+C)/(z-2)^2

Det är bara att göra skitjobbet o bestämma konstanterna A o B o C...och sen transformera hem.

Din lösningsmetod ser ut att fungera, men jag skulle gärna vilja ha den genom partialbråksuppdelning då det är den enda metoden vi lärt oss på föreläsningarna, hur inskränkt det nu låter

Sen blir inte partialbråksuppdelningen det du skrivit utan

1/((z-3)(z-2)^2) = A/(z-3)+B/(z-2)+(Cz+D)/(z-2)^2

och det går inte bra när jag ska lösa ekvationssystmet... det enda jag fått fram är att A=1 och 2C+D=-1

Det stämmer, din bråkuppdelning är den riktiga...multiplicera bort nämnarna med ((z-3)(z-2)^2) och sätt in fyra olika enkla z (tex 2 o 3 o 1 o 0), då får du ett lösbart system!

ska ta och kolla på det, tack för hjälpen!

dvs
1 = A(z-2)^2+B(z-3)(z-2)+(Cz+D)(z-3)

dvs

1=-2C-D
1=A
1=A+2B-2C-2D
1=4A+6B-3D


...i all hast, kan finnas räknefel här...

dvs
1=-2C-D
1=A
0=2B-2C-2D
-3=6B-3D

dvs

1=-2C-D
1=A
-1=2B-D
-6=12B

dvs

1=-2C-D
1=A
-1=2B-D
-1/2=B

dvs

-1/2=C
1=A
0=D
-1/2=B

..i all hast...kan finnas räknefel!

OM detta skulle stämma, så är felet du gör att du anväder EN ekvation två gånger på EN annan ekvation när du eliminerar i systemet...för annars var din lösning rätt...

Om någon försöker att lösa såhär så kanske partikuläransatsen är
u=(Cz+D)2^k.

(för korrekthetens skull...minns inte alla ansatsregler exakt)

...öh, jag menar u=(Ck+D)2^k

Fick fram rätt svar, tack för hjälpen