Förenkla

Förenkla arctan10+arctan4

Har fått det till tan∑=-14/39, men jag ska ju bara ha förenklingen, och inte själva svaret. Hur gör jag då?

Jag förmodar att du har ansatt att:

∑ = arctan10 + arctan4 och använt dig utav additionsformlerna? Bra början, och nu har du kommit fram till att tan∑ = -14/39? Ditt problem här är ju att du vill ha ∑ "fri", och detta löser du genom att använda funktionen arctan på båda sidorna.

arctan(tan∑)) = ∑ = arctan(-14/39). Nu måste du dock tänka till lite, i vilken kvadrant kommer vinkelsumman ∑ befinna sig i?

arctan10, arctan4 ∈ ]π/3, π/2[ ⇒ arctan10 + arctan4 ∈ ]2π/3, π[, vilket alltså innebär att vi befinner oss i den andra kvadranten. Därmed, måste vi addera en halv period utifrån där vi befinner oss nu för att komma dit.

∑ = arctan(-14/39) + π = π - arctan(14/39)

Med reservation för räknefel.

begriper inte riktigt det där, hur kan du ändra villkoren sådär?
Ser att du har definitionsmängd för arctan10 och arctan4. Är det standard och kunna dessa i huvudet? Hade inte kunnat knäcka dem precis, även om jag "tänkte efter" lite.

Sen ser jag hur du gör.
och "addera en period utifrån var vi befinner oss nu", menar du att vi befinner oss vid tan∑=-14/39 ?
Kunde vi inte likväl addera 2π/3 för att hamna där då?
EDIT: och är inte svaret då arctan(-14/39)+ πn (där n=heltal varv)

Ursäkta om "tänka efter lite" lät drygt, menade absolut inte så, menar mer att man ska fundera vad man har och hur man ska behandla detta.

Inga villkor ändras, vi vet att arctan10 ∈ ]π/3, π/2[ och arctan 4 ∈ ]π/3, π/2[, och tillsammans (arctan10 + arctan4) ∈ ]2π/3, π[. Hur vet jag att de båda har större värdemängd än π/3? Jo, eftersom arctan(√3) = π/3, och därför måste arctan4 inklusive arctan10 ge en större vinkel. Vidare är definitionsmängden för arctanx: -π/2 < arctanx < π/2, vilket vi återkommer till senare.

Nej, det räcker inte med att addera 2π/3, eftersom du vill ha samma vinkel utifrån din referensvinkel. Och anledningen att man inte svarar med n är ju eftersom vi vet att värdemängden ∑ ska befinna sig inom är ]2π/3, π[, vilket vi i detta fall anpassar om vi adderar π. Om vi adderar flera π, så kommer vi hamna utanför och därmed få fel svar.

Ah. I see. Mycket tack!