Y^2 = Y'

Jag har väldigt tråkigt på mitt jobb och har gett mig ast med några hitte-på-problem i matematik och har stött på detta. Det var dock ett tag sedan jag räknade på differentialekvationer, men vad jag kan minnas gick vi aldrig igenom den typ som står skriven i rubriken.

Går de att lösa algebraiskt, och hur ser i så fall lösningen ut?

Leibniz notation ger y^2 = dy/dt om y är en funktion av t:

y^2 = dy/dt <=> dt = dy/y^2, integrering på bägge sidor ger:

t + C = -1/y ger oss y = -1/(t + C) = 1/(-t - C) = 1/(D - t) för D som ges av något vilkor. Detta är en exempel på en separabel differentialekvation. Dessa löser man i regel enkelt genom att separera variablerna.

Jag tackar för svaret, men måste säga att jag inte förstår särskilt mycket. Du tappar bort mig efter "integrering på bägge sidor ger". Vad är det du gör där?

Samt, vad står det stora C/D'et för?

En konstant. Den primitiva funktionen är ju bara unik så när som på en konstant, så när man integrerar för att lösa en diff-ekvation måste man komma ihåg att ha med konstanten. Annars får man inte ut alla lösningar. Ofta har man sedan något begynnelsevillkor typ y(0) = 1 så att man kan bestämma ett värde på konstanten. Har man inget sånt villkor så får man svara med konstanten obestämd, får då är det oftast så att uppgiften frågar efter alla lösningar.

Okej, då är jag med!


Det jag dock fortfarande inte riktigt förstod var;

Vad är det som har gjorts här?

Notationsmissbruk i stort sett, man hakar på integraltecken och räknar på. Lösa diffekvationer blir så mycket enklare när man struntar i vad man håller på med och bara missbrukar sönder Leibniz notation (fysiker brukar tycka om det också).

Utan att blanda in differentialer (sådant som dy och dx):

Från differentialekvationen y' = y² får vi y'/y² = 1.

Nu gäller att vänsterledet y'/y² är derivatan av -1/y med avseende på x (enligt kedjeregeln), dvs vi har (-1/y)' = 1.

Om ett uttrycks derivata är 1 måste uttrycket vara på formen x + c, där c är en konstant. Alltså, -1/y = x + c.

Detta ger y = -1/(x + c), där alltså c är en konstant.

eller y=0

Bra. Alltid litet genant att missa specialfallen.

jo fast det e ofrånkomligt o missa såna små saker ibland. Jag gör ofta fler fel på "lätta" uppgifter än svåra - eftersom lätta uppgifter inte kräver fullt fokus - istället för att analysera problemet grundligt så associerar man bara till en standardmetod, och då e det lätt o glömma specialfall.