Trigonometri

Hur kan man bestämma tan pi/8 exakt?

Jag vet att tan pi/4 = 1 alltså: tan 2x =1 vad är då tan x?

tan(2φ) = tan(φ + φ) = (tanφ + tanφ)/( 1- tanφtanφ) = 2tanφ/(1 - tan²φ)

Om jag inte tänkte för snabbt nu borde väl denna formel kunna vara till hjälp?

En lösning är

tan 2x=1

==> 2x=arctan 1 ==> x=(arctan 1 )/2= pi/4/2=pi/8

Men fullständig lösning ska väl innefatta alla möjliga svar....

Stämmer bra det, tan(2φ) är ju känd, så det är bara att lösa andragradsekvationen man får.

Förstår inte riktigt vad ovanstående talare talar om (EDIT: inte han direkt ovan mig), men vi återgår till min formel:

tan(2φ) = 2tanφ/(1 - tan²φ)

Vi vill alltså ha ett uttryck för tanφ, vilket kan vara lite klurigt. Lyckligtvis vet vi i det här fallet att tan(2φ) = 1, varvid vi har:

1 = 2tanφ/(1 - tan²φ) och om vi sätter tanφ = a så ska vi alltså försöka oss på att lösa ekvationen 1 = 2a/(1 - a²), dvs att få variabeln a ensam.

⇒ (1 - a²) = 2a ⇔ 1 - a² = 2a ⇔ a² + 2a - 1 = 0

Efter kvadratkomplettering får vi att a = √2 - 1 samt a = -1 - √2, jag tror dock att det är bara det första fallet som är intressant här så: tan(π/8) = √2 - 1

Alltså... uppgiften är bara "Beräkna tan pi/8 exakt" resten var mina egna funderingar och ideér... vet inte ens om de är rätt

Svaret ska bli sqrt2 - 1 i allafall.


Edit: Se där... där kom den : )
Tackar

Edit2: Om jag ska använda formeln för tan2x så måste jag härleda den först.. och det har jag ingen aning om hur jag gör : /

Vilka formler får du använda utan härleda, för det är ju en rätt lång kedja här.

(1) sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ, cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ
(2) tan(α + β) = (tanα + tanβ)/(1 - tanαtanβ)
(3) tan(α + α) = tan(2α) = ...

Från vilket steg måste du ha härledning?

Steg 1 kan jag anta är sant, inte steg 2.

tan(α + β) = sin(α + β)/cos(α + β) = (sinαcosβ + cosαsinβ)/(cosαcosβ - sinαsinβ)

Dividera nu täljare och nämnare med cosαcosβ.

⇔ (sinαcosβ/cosαcosβ + cosαsinβ/cosαcosβ)/(cosαcosβ/cosαcosβ - sinαsinβ/cosαcosβ)
⇔ (tanα + tanβ)/(1 - tanαtanβ)

QED.

Alternativt bevis jag gjorde för ett tag sen, lite längre men väldigt tydligt: http://www.sendspace.com/file/sdjqn5

Det är nog bäst att göra som otrolig säger.

Använd formeln tan(2φ) = 2tanφ/(1 - tan²φ)

och det kända värdet tan(pi/4)=1.

Båda dessa finns ju i tillåtna formelsamlingar oftast, därför lämpliga att utgå ifrån.

Det blir nog en andragradsekvation ja...