Arean av triangel med hörn i P, Q och R. (AKUT)

P: (6,-2,4)
Q: (9,-3,6)
R: (3,-1,2)

Bestäm arean av den triangel som har hörn i P, Q och R.

Vanlig matematik eller Linjär Algebra?

Edit:
Nevermind, man ska visst använda sig av Linjär Algebra, vilket jag inte är alltför duktig på .

Linjär algebra.

Ah, skönt! Då blev det mycket enkelt. Vi har alltså tre stycken punkter, och vi ska dra två vektorer från samma startpunkt till de två andra punkterna, respektive. Vi låter P vara "startpunkt".

PQ = (9, -3, 6) - (6, -2, 4) = (3, 1, 2)
PR = (3, -1, 2) - (6, -2, 4) = (-3, 1, -2)

Nu skall vi använda oss av kryssprodukt. Normen (längden) av denna vektor kommer att ge arean av parallellogrammet som naturligt spänns upp av vektorerna. Delar man detta parallellogram på 2 kommer man få triangelns area.

PQ × PR = (3, 1, 2) × (-3, 1, -2) = (-4, 0, 6)
||PQ|| = 2√13 ⇒ Area triangel: √13 a.e.

Kan ju ha räknat fel någonstans, så kontrollera.

Kan vara jag som är helt ute och cyklar, men dom där punkterna ligger väl på en linje? Då är det där inte ens en triangel... är du säker att du har skrivit upp rätt kordinater?

Men somsagt, jag kan tänka helt fel..

Ja visst, ligger de på en linje, med riktningsvektor (3, -1, 2). Isåfall kan de ju knappast spänna upp en triangel, då måste jag ha räknat fel i något steg, antagligen i början . Ska titta efter.

EDIT: Japp, en av vektorerna är fel, det ska vara:
PQ: (3, -1, 2) och PR: (-3, 1, -2) varvid en vektorprodukt blir överflödig eftersom de är (anti)-parallella. Därför spänns ingen triangel upp, och du har antagligen angett fel koordinater. Annars är svaret helt enkelt att arean är 0 a.e.

En eloge till citronjuice med ett väldigt skarpt öga!

Dumma jag, det ska vara istället.

P: (1, -1, 0)
Q: (1, 2, 1)
R: (-1, 0, 1)

PQ = (1, 2, 1) - (1, -1, 0) = (0, 3, 1)
PR = (-1, 0, 1) - (1, -1, 0) = (-2, 1, 1)

PQ x PR = (2, -2, 5)

Så här lågnt hänger jag med, men förstår inte ||PQ||.

åh,, tackar Jag kan tänka mig att han har lagt till ett minustecken för mycket i någon av kordinatorerna, men han bör kunna lösa uppgiften nu med informationen i ditt första inlägg =)

Det ska naturligtvis vara ||PQ x PR||, ber om ursäkt, alltså längden av den vektor du just kryssat fram.

Hur räknar man ut ||PQ x PR||?

PQ x PR = (2, -2, 5)

Som vanligt när du räknar ut längden av en vektor, exempelvis u = (1, 2, 2), ||u|| = √(1² + 2² + 2²) = √(9) = 3.

PQ x PR = (2, -2, 5) ⇒ ||PQ x PR|| = √(2² + (-2)² + 5²) = √33