Hur fungerar urvalsaxiomet för icke-algebraiska tal

Jag hörde av en bekant att man kan byta ut urvalsaxiomet mot det inkompatibla axiomet "alla mängder är mätbara". Detta ger förstås upphov till en annan matematisk teori, men den kommer att vara motsägelsefritt.

Läs sista stycket här: http://en.wikibooks.org/wiki/Set_The...xiom_of_Choice

Där visar man att urvalsaxiomet är ekvivalent med existensen av icke mätbara mängder. Att alla mängder är mätbara är alltså motsatsen till urvalsaxiomet. Det ihop med att urvalsaxiomet är oberoende av ZF gör att ZF + alla mängder är mätbara är konsistent.

Visar man verkligen ekvivalens? Visar man inte bara AC ⇒ ∃ icke mätbara mängder?


Det är jag helt med på.

Det har du ju alldeles rätt i. Tittade slarvigt. Det var visst ganska jobbigt att visa att det är konsistent. Robert Solovay gjorde det 1970 i Annals.
//
A Model of Set-Theory in Which Every Set of Reals is Lebesgue Measurable
Robert M. Solovay
The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 92, No. 1 (Jul., 1970), pp. 1-56

mm omvändningen är nog betydligt jobbigare.

men fortfarande, det finns andra mängder än R, och andra mått än lebesguemåttet så det skadar inte att vara specifik.

Va ere för pretentiös små-mongo definition på wikipedia ? http://sv.wikipedia.org/wiki/Urvalsaxiomet

Det existerar en funktion f som avbildar X till unionen av alla element i X, så att för varje element x_i i X gäller att "f(x_i) \in x_i".

Nu är jag lite på lyset efter några fredagsgroggar, men vafan... kanske förbi sett nått.

X är en mängd med element, X={x_1,x_2,...,x_n} samt att unionen av alla x_i kommer att vara X. Dvs., vi kan skriva f:X -> X lika väl.

Som jag ser det är det ju likvärdigt med att skriva f(x_i) = x_i. Vilket är det man vill definiera. Elementen i sig är ju inga mängder, isf. måste man ju definiera en urvalsfunktion på dem oxå; vilket i slutändan skulle resultera i att f(x_i)=x_i.

Säger de inte att f är en funktion från X (mängden som innehåller alla x_i som element) till unionen av x_i (mängden som innehåller alla element som ingår i något x_i), sådan att f(x_i) är ett element i x_i.

Alltså att unionen av x_i inte ligger i X, och att f(x_i) =/= x_i eftersom x_i är ett element i X och inte i unionen av x_i.

Vad betyder I, som små-i:na ska ligga i?

I är en mängd med index (heltal), 1,2,3...osv.

Först definieras X som mängden av alla x_i där i \in I, se meningen "Med andra ord, låt X = ... ". Detta är ju likvärdigt med att skriva X är unionen av alla x_i där i \in I.

Exempel: Vi har x_1, x_2, x_3.

1) X är mängden av alla x_i där i \in {1,2,3}, vilket ger X = {x_1,x_2,x_3}.
2) X är unionen av alla x_i där i \in {1,2,3}, vilket ger X = {x_1,x_2,x_3}.

Nej, läs rätt, x_i är alla mängder också. Så tex kan man ha att I ={1, 2, 3}, x_1 = {1, 2}, x_2 = {1, 3, 5}, x_3 = {1, 2, 3}.

Då är X = {x_1, x_2, x_3} = {{1, 2}, {1, 3, 5}, {1, 2, 3}} medan unionen av alla x_i är {1, 2, 3, 5}. Urvalsaxiomet säger då alltså att det finns en funktion f från X till {1, 2, 3, 5} med egenskapen att f(x_i) ligger i x_1, tex funktionen f(x_1) = f(x_2) = f(x_3) = 1.

Ja det stämmer! Fan, det där med "samma element i olika mängder" är alltid nått man förbiser.

Indexmängden behöver inte utgöras av heltal och därmed vara uppräknelig. Den kan vara hur stor som helst.

Nä, men det var ju inte det betydande för axiomet (användes i all enkelhet), eller vad hade du i tanke?

Exempelvis: Låt X vara mängden av alla x_i där 0<= i <=1, vilket kan exemplifieras med att X är mängden av alla tal mellan 0 och 1; ändå är det möjligt att välja ett tal ur den mänden.