halveringstid

ett ämne har en halveringstid på 24000år, hur länga ska man försvara ämnet om man vill att mängden ska gå ner till 1/1000 av den ursprungliga mängden?

1*X^24000=0,5 dvs exponentialfunktion

x=0,5^(1/24000)

1*0,99997^x=0.001

x*lg(0.99997)=lg(0.001)

x= ca 240 000år

~240 000 år

Vi har halveringstiden 24 000 år. Formeln för halveringstid är:

T 1/2 = ln2/λ

⇒ λ = ln2/24000

Vi anger den nuvarande mängden ämne som m, och ursprungliga som M.

m = Me^(-λt)

⇒ 1/1000*M = M*e^(-λt)
⇔ 1/1000 = e^(-λt)
⇔ ln(1/1000) = -λt
⇔ ln1 - ln1000 = -λt
⇔ ln1000 = λt
⇔ t = ln(1000)/λ = 239178.82283... ≈ 240 000 år

okej tack! dags att kontemplera lite, förstår inte riktigt vid första åsynen.

Om du inte förstår vid första anblick är nog sannolikheten stor att du inte har/håller på att läsa Fysik B, varvid min lösningsgång kan se ut lite som kinesiska. Om inte c^2 misstycker kan jag förklara hans lite närmre:

Han ansätter att 1*x^24000 = 0.5, det vill säga han vill hitta ett x upphöjt till halveringstiden som ger just halva mängden (han satte ju ut att mängden var 1 från början).

För att finna detta x höjer han båda leden upp till 1/24000:

⇒ (x^(24000))^(1/24000) = 0.5^(1/24000)
⇔ x = 0.5^(1/24000) = 0.999971

Han får du ett samband som ser ut såhär:

m = M*0.999971^t

Alltså, M är den ursprungliga mängden ämne och m är den nuvarande, och detta är en funktion av tiden. Om vi sätter t = 24 000 kommer vi naturligtvis finna halva mängden av den ursprungliga mängden ämne. Men nu ska vi finna hur lång tid det tar tills vi har en tusendel, 1/1000 kvar av ämnet.

⇒ 1/1000M = M0.999971^t (Vi skriver om m till (1/1000)*M)
⇔ 1/1000 = 0.999971^t (Vi stryker M eftersom det finns i båda leden)
⇔ lg(1/1000) = lg(0.999971^t) (Vi logaritmerar båda leden för att få ner t på "markplan")
⇔ lg(1/1000) = t*lg(0.999971) (Vi använder tredje logaritmlagen)
⇔ t = lg(1/1000)/lg(0.999971) = 238195 ≈ 240 000 år

Du kan självklart använda den naturliga logaritmen om du hellre vill det också.

Om du tänker dig att du halverar något flera gånger i rad, så kan du räkna:

1: en halv
2: en fjärdedel
3: en åttondel
[... fyll i här ...]
9: en femhundratolftedel
10: en tusentjugofjärdedel

Med tio halveringar har du alltså kommit fram och lite till. 10 halveringar som tar 24000 år vardera ger 240000 år totalt.