Hitta alla lösningar [Matte E]

Alla lösningar till ekvationen x^3+x^2+25x+25=0 är antingen heltal a eller komplexa tal på formen ia där a är ett heltal. Hitta alla lösningar.

Tycker att uppgiften bara blir krångligare ju mer jag försöker. Om någon Flashbackare har koll på hur man gör och vill dela med sig av sin visdom, så vore det uppskattat Japp, matteläxa.

Det enklaste du kan göra är att gissa dig fram till en lösning. Eftersom det är en ekvation av tredje graden så måste minst en reell lösning finnas. Jag ser direkt att x=-1 är en lösning. Då vet du också att polynomet har en faktor x+1, så då får du utföra polynomdivisionen (x^3+x^2+25x+25) / (x+1) och sedan tar du PQ-formeln och löser de andra två lösningarna.

Ansätt vad vi vet:

f(x) = (x - a)(x - bi)(x + bi) = (x - a)(x² + b²) = (x³ + b²x - ax² - ab²)

Nu kan vi lösa ekvationssystemet om vi jämför koefficienterna på detta ovanför och med det du redan har, nämligen x³ + x² + 25x + 25 = 0. Vi vet ju till exempel att -ax² = x², varvid a = -1. Sen vet vi ju att b²x = 25x, varvid b = ±5, nu behöver vi dock bara en rot eftersom vi redan har konjugaten med här, och vi har redan med båda fallen.

f(x) = (x +1)(x + 5i)(x - 5i)

x^3+x^2+25x+25=0

Isen.star har iofs redan börjat.

x^3+x^2+25x+25 = (x+1)(x^2+25)

x^2+25=0 => x=+-5i

x1=-1
x2=5i
x3=-5i

Jag kan inte dra mig till minnes att man gissade till sig rötter i Matematik E, även om det är ett rätt bra sätt att faktorisera tredjegradspolynom på. Det gjorde jag först när jag började med matematik på högskolenivå av någon anledning.

Grymt tack. Mycket pedagogiskt skrivet av alla, lärde mig mer av er på 30 min än vad jag försökt lära mig i 2 dagar med hjälp av matteboken