Vektorer

1. Hur räknar man ut sträckan mellan två parallella plan som har ekvationerna:

x+2y-2z=3 & 2x+4y-4z=7

2. Hur hittar man en ekvation för planet som innehåller punkten (1, -1, 2) och linjen x=t, y=t+1, z=-3+2t

1. Skapa en linje med hjälp av någon av planens normalvektorer, vi kan kalla planen Π: x+ 2y- 2z = 3 och Γ: 2x + 4y - 4z = 7. Utifrån Π skapar vi en normalvektor, n: (1, 2, -2). Nu drar vi en ortsvektor till en godtycklig punkt på planet, vi kan till exempel ta (2, 1, 0).

Linjens ekvation: L = (2, 1, 0) + t(1, 2, -2). Nu ska vi se när planet [b]Γ[/B och L sammanfaller:

Γ: 2x + 4y - 4z = 7 ⇒ 2(2 + t) + 4(1 + 2t) - 4(0 - 2t) = 7 ⇔ t = -1/18

Nu kan vi skapa en vektor u med linjens L:s riktningsvektor, och det kända skalären t, som säger hur långt vi måste gå för att nå det andra planet.

u = -1/18(1, 2, -2) = (-1/18, -1/9, 1/9)

Räkna nu ut normen (längden) av vektorn:
||u|| = 1/6 (får du med hjälp av Pythagoras sats)

Med reservation för att jag kan ha räknat fel här någonstans.

2. Vi har alltså en punkt P = (1, -1, 2) i planet Π samt en linje L: (0, 1, -3) + t(1, 1, 2). Egentligen har vi ju två punkter här, eftersom en ortsvektor till linjen är dragen. På så viss kan vi dra en vektor mellan linjen och punkten P.

LP: v = (1, -1, 2) - (0, 1, -3) = (1, -2, 5)
Sen har vi faktiskt en till vektor i planet, eftersom vi har linjens riktningsvektor, u = (1, 1, 2). Vi skulle kunna kryssa dessa två vektorer, och på så sätt finna planets koefficienter.

u x v = (1, 1, 2) x (1, -2, 5) = (9, -3, -3)

Π: 9x - 3y - 3z = d ⇒ 9(1) - 3(-1) - 3(2) = d ⇔ d = 6
Π: 9x - 3y - 3z = 6 ⇔ 3x - y - z = 2

Som vanligt, med reservationer för räknefel.

[quote=O Nu drar vi en ortsvektor till en godtycklig punkt på planet, vi kan till exempel ta (2, 1, 0).
.[/QUOTE]

Tack för svaren. Jag undrar vad en ortsvektor är och hur man bestämmer vad den ska vara? Hur vet man tex as (2,1,0) ligger i de planet?

En ortsvektor är en vektor dragen från origo till en godtycklig punkt. Om vi har en punkt A: (a, b, c) och vi drar en vektor från origo, gör vi såhär:

OA = Målets koordinater - Startkoordinater = (a,b,c) - (0,0,0) = (a,b,c)

Så alltså, om vi drar en ortsvektor till en punkt (a,b,c) kommer ortsvektorn vara punkterna i vektorform (a,b,c).

Vi vet att punkten (2,1,0) ligger i planet eftersom det uppfyller planets ekvation, x + 2y - 2z = 3.

Hur uppfyller (2,1,0) planets ekvation? 2+2*(1)-2*(0)=4

Förlåt, mitt misstag - tur att jag reserverade mig från räknefel! Tag istället punkten (1, 1, 0) som uppfyller planet.

L = (1, 1, 0) + t(1, 2, -2)

Γ: 2x + 4y - 4z = 7 ⇒ 2(1 + t) + 4(1 + 2t) - 4(0 - 2t) = 7 ⇔ t = 1/18

Så även om jag gjorde fel, verkar det som att skalären t är lika stor, som när på ett minustecken. Isåfall kommer normen av vektorn, och då avståndet vara lika stort fortfarande, om än motriktad. Om jag nu har räknat rätt den här gången vill säga.

u = 1/18(1, 2, -2) = (1/18, 1/9, -1/9)
||u|| = 1/6

Tack för hjälpen! Tror de har klarnat lite nu.