ln ekvation

Lös ekvationen

ln(x^2 + 3x) + ln(x − 1) = ln x + ln 5

ln(x^2 + 3x)(x - 1) = ln x + ln 5

ln x^3 - x^2 + 3x^2 - 3x = ln 5x

x^3 + 2x^2 -3x = 5x

x^3 + 2x^2 = 8x

x^3 + 2x^2 - 8x = 0

hur gör jag nu? Ps. svaret ska vara x=2

Faktorisera.

x³ + 2x² - 8x = 0 <=> x(x² + 2x - 8) = 0 <=> x(x + 4)(x - 2) = 0

x = 0 eller x = -4 eller x = 2

Tittar man på ursprungsekvationen är funktionen definierad när x > 0, vilket gör att endast x = 2 satisfierar ekvationen.

borde finnas fler än ett svar!? men bryt ut x ur de du har x(x^2 + x - 8)

Otrolig min gamle mentor, hur ser du "snabbt" att ursprungsfunktionen endast är definierad för x>0? Brukar ha lite problem med det där då man höjjer upp led och nya rötter uppstår. Förklara gärna lite ring detta, och även kvadratkomplettering om du ids.

Det krävs t.o.m. att x > 1 för annars är inte termen ln(x-1) i ursprungsekvationen definierad.

Okej, jag kanske var lite snabb där, slängde ett getöga på ekvationen och det såg ut som det var så att x > 0, men vi kan analysera det lite djupare.

ln(x² + 3x) + ln(x − 1) = ln x + ln 5

Vi vet ju att lnx, den naturliga logaritmen är inversen av e^x. Den ger oss svaret vad vi måste höja upp e med för att åstadkomma ett tal, exempelvis e^α = β <=> lnβ = α. Vi vet att om man höjer upp ett tal med något blir det alltid > 0, (förutom för trivialfallet 0). Därför måste det vi stoppar in i ln-funktionen alltid vara över 0.

Vi har då kraven att x² + 3x > 0, x - 1 > 0, x > 0.
Analyserar vi första: x(x + 3) > 0 som gäller för x > 0 och x < -3 visar det sig vid teckenstudier, alltså intervallen ]-∞, -3[∪]0, ∞[. Vidare har vi kraven att x > 1 och x > 0 vilket innebär att det samlade intervallet, och definitionsmängden är ]1, ∞[ så jag hade fel där så när på 1. Hursomhelst, detta intervall måste man titta ut innan man börjar möblera om, eftersom nya lösningsintervall kan uppstå. Ett tips är att alltid kolla upp först, innan man börjar lösa ekvationen, definitionsmängden.

Jag kvadratkompletterar inte där, jag tittar bara vad vi har så faktoriserar vi. Kan ge ett exempel:

x² + x - 6 vill vi skriva på formen (x + α)(x + β) = 0
Vi vet att om vi har formen ax² + bx + c så kommer αβ = c och α + β = b.
Man får helt enkelt försöka se vilka α och β som vid αβ = -6 och α + β = 1, vilket i det här fallet är (x + 3)(x -2) = 0! Multiplicera ihop själv och titta på magin!

Varför inte (x-3)(x+2)? Stämmer inte det bättre när b är positivt?

Nu förstår jag inte riktigt?
Du har (x - 3)(x + 2) = x² + 2x - 3x -6 = x² - x - 6 ≠ x² + x - 6 som jag hade ursprungligen.

Du visade ju att a + B = b, i det här fallet är ju b = 1.

Edit; Vet inte om du såg att du skrev plustecken framför trean och minus framför tvåan i parenteserna?

Det korrekta är att α+β=-b.

Jaja, då är det ekvationen x² + x - 6 som är felskriven? För där är ju b positiv.