arctan(z)?

[arctan(z)] från z=1 till z=1+i


(pi/4-0,5arctan(2)+(i/4)Log5)

Hur?

Vad menas med från? arctan(1) - arctan(1+i)?

Alltså, integrationsgränserna är från z=1 till z=1+i. Integranden är ju från början 1/(1+z^2) och arctan(z) är den primitiva, men längre än så har jag inte kommit.

Längs vilken kurva integrerar du?

Från z=1 till z=1+i

Jag frågade inte efter ändpunkterna. Jag frågade efter vilken väg du skall ta mellan punkterna. Är det längs en rät linje?

Jaha, ursäkta. Det står bara "line segment" i boken så man kan väl lägga vilken kurva som helst mellan ändpunkterna, så länge arctan(z) är definierad där.

Line segment betyder (rak) sträcka.

Du skall alltså beräkna ∫ dz/(1+z²) där z följer linjesegmentet från z = 1 till z = 1+i.

Parametrisera kurvan: z = 1 + it, där t går från 0 till 1, och sätt in i integralen.

Men leder inte den parametriseringen till samma problem som i första posten? Det är ju den här jävla arctan[1+i] som är jag inte får ut.

Integralen övergår då i ∫ (i / (1+(1+it)²)) dt från t = 0 till t = 1.

Efter förlängning med nämnarens komplexkonjugat blir integranden
(-2t + i(2-t²)) / (4 + t^4)

Nämnaren kan faktoriseras:
4 + t^4 = (t² - 2t + 2)(t² + 2t + 2)

Vi kan sedan göra partialbråksuppdelning av integrandens reella och imaginära delar:
-2t/(4 + t^4) = (1/2) ( 1/((t+1)²+1) - 1/((t-1)²+1) )
(2-t²)/(4 + t^4) = (1/4) ( 2(t-1)/((t-1)²+1) - 2(t+1)/((t+1)²+1) )

Dessa integreras med lätthet:
∫ (1/2) ( 1/((t+1)²+1) - 1/((t-1)²+1) ) dt = (1/2) ( arctan(t+1) - arctan(t-1) )
∫ (1/4) ( 2(t-1)/((t-1)²+1) - 2(t+1)/((t+1)²+1) ) dt = (1/4) ( ln|(t-1)²+1| - ln|(t+1)²+1| )

Så integralens värde blir
[ (1/2) ( arctan(t+1) - arctan(t-1) ) + i (1/4) ( ln|(t-1)²+1| - ln|(t+1)²+1| ) ]
där gränserna t = 0 och t = 1 skall sättas in.

Jag vet inte om jag har räknat helt korrekt, så använd det främst som ett stöd för beräkningsgången.

Tusentals tack! Nu blev det rätt sånär som på tecknet i realdelen men det får vara. Hur använder man matematiska symboler? Känner att jag var lite otydlig i frågeställningen.