Parsevals formel

Kan någon hjälpa mig med den här uppgiften:
Beräkna med Parsevals formel summan 1+2^-6+3^-6+4^-6+... exakt.

Känner du till någon Fourierserie där koefficienterna är 1, 2^(-3), 3^(-3), 4^(-3), ...?

Nej kan du vara snäll och förklara det

Fan är lite rostig på Fouriern ... men så här hade jag gjort:

Betrakta fourierkoefficienterna av något tredjegradspolynom. Ett sådant kommer att ha önskade koefficienter för uppgiften. Genom att först prova att beräkna koefficienterna till x^3 sluter jag mig till att f(x)=x(x²-π²) är ett hyfsat bra val.

Fourierkoefficienterna till f(x) är:

û(n)=1/2π INT(π,-π) x(x²-π²)exp(-inx) dx = ... = 6*(-1)^n/n^3


och û(0) = 0

Eftersom f(x) uppenbarligen är i L² så gäller Parsevals formel. D.v.s.

∞
Σ|û(n)|²=1/2π INT(π,-π) x²(x²-π²)² dx
-∞

Uträkning av ovanstående ger

∞
2Σ 36/n^6= (8π^6)/105
1

således

∞
Σ 1/n^6 = π^6/945
1