Parabelns ekvation

Ekvationen för parabeln är, då vertex går genom punkten (x0;y0):

y-y0=k(x-x0)^2

När man utvecklar parantesen i HL så får man:

kx^2-2x(x0)+(x0)^2

Men enligt mitt resonemang så borde ekvationen vara:

y-y0=k(x^2-(x0)^2)

Därför att:

y=kx^2 och det medför att y0=k(x0)^2

Uttrycket: y-y0=(kx^2-k(x0)^2)=k(x^2-(x0)^2)


Alltså: y-y0=k(x^2-(x0)^2)

Vad är det för fel på mitt resonemang?

Eh what? Felutvecklat och ditt resonemang är också fel.

k*(x-x0)^2

kvadreringsregeln ger:

k*(x-x0)^2 = k*(x²-2*x*x0+x0²)

Vad händer när (x0,y0)=(0,0)? Du får y=k*x²

Blev inget svar för mig...

Som du ser så skrev jag att kvadreringsregeln gav den utvecklingen precis som du visade.

Men om du läser resten så ser du att x-termerna var upphöjda till 2, inte hela parentesen.

Varför jag tycker att det borde vara så ser du som jag skrivit redan. Men jag gör det en gång:

Vi vet att y=kx^2 och y-y0=k(x-x0)^2 är två olika ekvationer till en parabel. Båda är alltså en ekvation till parabeln.

y=kx^2
y0=k(x0)^2

Låt oss lösa ekvationen y-y0

Givet:
k=1
y=9
y0=4

Lösning:

y-y0 --> 9-4=5

Testar att lösa om vi substituerar till y till x-termer:

kx^2-k(x0)^2 --> 1(3^2-2^2)=5

Slutsats: Ekvationen y-y0=k(x^2-(x0)^2) gav rätt svar.
------------------------
Testar med den riktiga ekvationen: y-y0=k(x-(x0))^2

y-y0 --> 9-4=5

Testar att lösa om vi substituerar till y till x-termer:

k(x-(x0))^2 --> 1(3-2)^2=1(1)^2= 1

VL=5≠1=HL
VL≠HL

Slutsats: Den "riktiga" ekvationen gav två olika svar.

----------------------------

Vertex: (0;0) ger

y-0=k(x-0)^2

y=kx^2

Slutsats: Då stämmer formeln y-y0=k(x-x0)^2.

Fråga:
I min lärobok var denna ekvation inringad och presenterad som Parabelns ekvation.
Men det verkar som om y=kx^2 är generell men y-y0=k(x-x0)^2 gäller då vi har vertex (x0;y0)=(0;0). Och endast om vertex har koordinaterna (0;0).

Vidare säges det i boken att en vanlig andragradsekvation, y=ax^2+bx+c, kan skrivas om till y-y0=a(x-x0)^2 med hjälp av kvadratkomplettering.
Men hur kan man göra det då det endast gäller om (x0;y0)=(0;0)
Det är ju inte generellt.

Den enda möjliga utvägen jag ser är att mitt värde på k kanske inte kan väljas godtyckligt eftersom lutningen måste vara sådan så att man erhåller definitionen av en parabel.

(Definitionen säger: En parabel är orten för de punkter, som ligger lika långt från en given punkt och från en given rät linje i planet. Den givna punkten kallas brännpunkt eller fokus och den givna linjen styrlinje eller direktris.)

Det innebär att k har en speciellt förhållande till brännpunktens position i y-led (c). Vilket är k=1/4c om man härleder ekvationen enligt givna villkor som definitionen ger.

Men den stora frågan för mig återstår, varför stämde inte mitt exempel för båda uttrycken på parabelns ekvation?

En till fråga, är det någon skillnad mellan en parabel och en andragradskurva?

Om det är det så borde det väl vara att k-värdet kan väljas godtyckligt till en andragradskurva och vice versa för en parabel?

Kan inte någon svara så jag fattar?