Vektorer

Avgör om följande vektorer utgör en bas för rummet. Vektorernas
koordinater är angivna i en och samma givna bas e1, e2, e3.

e1(2, 0, 2), e2(0, 2, 2), e3(3, 2, 6)

Basically, jag har fått svaret e1=e2=e3=0.


Det jag undrär är då, utgör följande vektorer (se ovan) en bas?

För att de ska kunna utgöra en bas i rummet måste de vara ortogonala mot varandra.

Är dem det då?

Ortogonal betyder "vinkelrät" kan jag väl förmoda.

Japp, har du lärt dig hur man undersöker det?

Inte än. Har precis påbörjat kursen och boken som vi använder är inte direkt "skitbra".

Nu blir jag lite osäker på om det här är tillräckligt. Jag är dock säker på att de ska vara linjärt oberoende.

Ok, har du räknat med determinanter?

Betyder inte x=y=z=0 att det alltid är linjärt oberoende?

Nej, inte heller det. Som sagt, jag har precis påbörjat kursen.

Jag vet inte var du får att e1=e2=e3=0 ifrån. e1 osv är väl enhetsvektor och är knappast lika med 0 eller?

Fan, jag känner mig lite för rostig för att kunna förklara det här, alla regler och termer sitter inte. Men som jag ser det utgör dina tre vektorer en bas i rummet då summan av determinanten av matrisen de bygger upp är skild ifrån noll.

2 0 3
0 2 2 = 4 != 0
2 2 6

Om ni inte kommit in på determinanter än hjälper inte det där dig mycket men jag kan nu inte komma ihåg hur man gjorde utan dem. Hoppas någon annan kan förklara bättre.

e1(2,0,2) e2(0,2,2) e3(3,2,6) vi kan byta ut e1, e2, e3 mot x, y, z.

(1) 2x + 3z = 0
(2) 2y + 2z = 0
(3) 2x + 2y + 6z = 0

2x + 3z = 0 (4)
2y + 2z = 0 (5)
(1)-(3) -2y - 3z = 0 (6)

2x + 3z = 0
2y + 2z = 0
(5)+(6) -z = 0

Jag får alltså att z=0 (e3=0). Om man stoppar in det i ekvation (5) får man att y=0 (e2=0) och om man stoppar in båda två i ekvation (4) får man att x=0 (e1=0).

Alltså x=y=z=0 (e1=e2=e3=0)

Det du säger är alltså att om determinanten inte är like med noll, så utgör vektorerna en bas.

Är det så?