Bestämma konstanter - trigonometri

Bestäm konstanterna C och Φ så att C>0 och -π<Φ≤π
så att

-√(3)cosv -sinv = Csin(v+Φ) för alla v ∈R


VL: -sinv kan skrivas om till sin(v+π)
cosv kan skrivas om till sin((π/2)-v)

HL: Csin(v+Φ) kan väl skrivas om som C(sinvcosΦ+cosvsinΦ) enligt additionsformeln

men sen, flytta över och kvadrera för att få bort -√?
Nej jag förstår ingenting nu. Tacksam för hjälp eftersom jag suttit med denna i över min tillåtna gräns effektiv tid 2 timmar.

Tror jag såg en liknande uppgift här för ett tag sen, men hittade inte den igen? Isåfall länka gärna.

verkar som man kan skriva om V.L till -2cos((π/6)-v).
vilka formler ska jag använda?

Finns två formler för det där om man ska sätta ihop en sin- och en cosfunktion till en enda sinfunktion. Kommer inte ihåg dem riktigt, men jag tror att de lyder såhär:

a*cos v + b*sin v = √(a^2+b^2)*sin(v+arctan(b/a))

Prova om det blir rätt

jo, men arctan är inte min grej
tror jag kommit in på rätt spår nu, meddelar om det är något som går åt pipsvängen, där jag behöver lite förklaringar.

om jag kommit fram till att C=2 och Φ=(π/2)-v+2πn
hur bestämmer jag då vad Φ har för värde?
Sätter jag in hela uttrycket i ursprungsfunktionen och knåpar ihop det?

eftersom intervallet hos Φ är -π<Φ≤π så vet jag inte riktigt hur jag ska få ut något av detta.

C(sin v cos Φ + cos v sin Φ) = -√(3)cosv - sin v

För att detta skall gälla måste vi ha

C cos Φ = -1 (1)
C sin √(3) = -√(3) (2)

Delar vi nu (2) med (1) får vi

tan Φ = √(3)

Kvadrerar vi (1) och (2), adderar dem och använder trigonometriska ettan får vi

C^2 = 4 med C=2 (C=-2 funkar inte med villkoret C>0)

Fattar inte riktigt villkoret för Φ dock...Vad är n? tan (pi/3) är ju √(3) och sedan är ju tangens periodisk med perioden pi, så alla vinklar (pi/3)+k*pi där k är ett godtyckligt heltal fungerar

-pi<Φ≤pi

jo jag var inne på samma bana, knåpar fortfarande på hur jag ska fortsätta.

Men du belyste några viktiga delar, tackar så mycket!
Ska se om jag lyckas med hela nu.

ska det inte stå sinΦ där? eller är jag ute helt och cyklar.

nåja, när jag väl bestämt dessa konstanter så är det dags att kontrollera.

så C = 2, Φ=pi/3 som vi lyckades få ut.

detta skulle gälla för alla v ∈ ℝ

så jag testade v= pi/3 (som ger bra cos och sinvärden) i ursprungsfunktionen -sqrt(3)cosv-sinv=Csin(v+Φ)

-sqrt(3)cos(pi/3)-sin(pi/3) = 2sin(pi/3+pi/3)

får det till att bli -sqrt(3)=sqrt(3) ? dvs VL≠HL

då stämmer ju ingenting här?

Jo, du har helt rätt, jag har skrivit fel där!