standardutvecklingar och ordo-resttermen

ex:

1. Standardutvecklingarna följer väl formen:
f(x)=f(0) + f'(x)/1! * x + f''(x)/2! * x^2 + ... + f^(n)(0)/n! * x^(n)

Men då borde väl standardutvecklingen för sin x vara:

sin x = x - x^2/2! + ...

istället är den ju:

sin x = x - x^3/3! + ... + x^(2n+1) / (2n+1)!

hur kommer man fram till den formeln, vilka ev. förenklingar görs?

2. har ni några bra minnesregler för standardutvecklingarna? ex. för n's värde etc.

3. vi använder oftast ordo som restterm. hur bestämmer man dess grad. har denna formel för ex. sin x:

sin x = ... + x^(2n+1) / (2n+1)! + R(2n+1)

enligt ett lösningsförslag med utvekling till grad 2 ( sin x = x - x^3/3! ) gav det resttermen O (x^5). n i utvecklingen är väl endast 1. Baseras den på det nya n-värdet i exponenten, eller är det nån sorts gradomvandling från R termen till ordo?

4. vad händer med ex. x^3 + O(x^3) när du vill bryta ut x^3? Vad händer om man vill bryta ut ett x av ännu högre grad?

tack

Inte riktigt, ska vara
f(x) = f(0) + f'(0)/1! * x + f''(0)/2! * x^2 + ..., men det var nog det du menade.

Men då borde väl standardutvecklingen för sin x vara:

sin x = x - x^2/2! + ...

istället är den ju:

sin x = x - x^3/3! + ... + x^(2n+1) / (2n+1)!

hur kommer man fram till den formeln, vilka ev. förenklingar görs?
[/quote]

Om f(x) = sin x, så är f(0) = sin 0 = 0; f''(0) = - sin 0 = 0, f''''(0) = sin 0 = 0, osv, dvs varannan term försvinner helt enkelt.


Inget särkskilt jag kommer på.


Resttermen är O(x^k) där k är graden av nästa term i serien, som man alltså inte tog med. Det vill säga, om du har sin x = x - x^3 / 3!, så skulle ju nästa term vara x^5 / 5!, vilket har grad fem, och därför är restermen O(x^5).


Är inte helt säkert på att du förstår vad du menar, men du kan ju skriva x^3 + O(x^3) som x^3( 1 + O(1)) (vilket i sin tur är samma som x^3 * O(1)). Visst kan du också skriva x^3 + O(x^3) = x^4 * O(1/x), men det känns mindre användbart.

Nej, utvecklingen är
f(x)=f(0) + f'(0)/1! * x + f''(0)/2! * x^2 + ... + f^(n)(0)/n! * x^(n)


Hur får du med en x^2-term?

f(x) = sin(x), så f(0) = sin(0) = 0
f'(x) = cos(x), så f'(0) = cos(0) = 1
f''(x) = -sin(x), så f''(0) = -sin(0) = 0
f'''(x) = -cos(x), så f'''(0) = -cos(0) = -1
...
Alltså,
sin(x) = f(x) = f(0) + f'(0) x + (1/2) f''(0) x^2 + (1/6) f'''(0) x^3 + ...
= 0 + 1 x + (1/2) 0 x^2 + (1/6) (-1) x^3 + ...
= x - x^3/6 + ...


Börja med
exp(x) = e^x = 1 + x + (1/2) x^2 + (1/6) x^3 + (1/24) x^4 + (1/120) x^5 + ...
Koefficienterna 1, 1, 1/2, 1/6, 1/24, 1/120, ... kan generellt skrivas 1/n!, där n! = 1*2*3*...*n.

Se nu på
sin(x) = x - (1/6) x^3 + (1/120) x^5 - ...
och
cos(x) = 1 - (1/2) x^2 + (1/24) x^4 - ...
De har båda med varannan term från exp(x) fast med växlande tecken.

Om du känner till komplexa tal, där man har en konstant i som uppfyller i^2 = -1, så kan du verifiera det viktiga sambandet
exp(ix) = cos(x) + i sin(x)


Om du utvecklar till grad n så kommer resttermen att ha grad n+1.

Utvecklingen sin(x) = x - x^3/3! ser ut att vara till grad 3 varför resttermen borde ha grad 4. Och det är inte fel att skriva så, men att ge resttermen grad 5 är inte heller fel. Försök utveckla sin(x) till grad 4. Vad händer med x^4-termen? Jo, den försvinner eftersom koefficienten blir 0. Alltså ger utvecklingen till grad 4 samma polynom som utvecklingen till grad 3. Resttermerna blir dock något olika.


Generellt gäller O(x^m) = x^n O(x^(m-n)).
Alltså, x^3 + O(x^3) = x^3 (1 + O(1)) = x^5 (x^(-2) + O(x^(-2))

tack för svaren!



ok, men vad händer då med O(1) när lim x->0?

antar att O(x^-2) iaf går mot 0 då lim x->0.

O(1) går mot ett ändligt värde då x → 0.


Nej, det är inte säkert. Den kan gå mot ∞. Till exempel gäller x^(-2) ∈ O(x^(-2)) och x^(-2) går inte mot 0 då x → 0.