Räkna kvadratrötter utan miniräknare

Hur räknar man ut roten ur 128 utan räknare, dvs 128 ^1/2

Det finns ett räknesätt som inte innbär att man testar sig fram
tex 11*11 = 121
11,1*11,1=123,21

Utan en metod, jag har själv gjort det men minns inte vare sig lösning eller vad metoden heter

Så du menar att du få fram godtycklig kvadratrot med ett begränsat antal operationer?
Annars kan du lära dig lite närmevärden, lite som multiplitationstabellen. Bra att ha i bakhuvudet.
Edit: Jag förstår att du vill ha en numerisk metod.
Ta skillnaden mellan talet du ska dra roten ut och kvadraten av din gissning. Dela denna skillnad med två gånger din gissning.
Exempelvis rot(128) ≈ 11 + (128 - 11²) / (2×11) = 11 + 7/22.
Detta kan givetvis itereras.

ok anta att behöver veta roten ur sqrt(2) med närmevärde.
Eftersom 1.4^2=1.96 så bör roten ur 2 vara nära 1.4

f(a+h)-f(a)=f'(a)+rå(h)h då h går mot 0.
Då resttermen blir väldigt liten för små h har vi,
f(x)=sqrt(x).
f(a+h)-f(a)~f'(a)h.

sqrt(2)-1.4=f(2)-f(1.96)=f(1.96+0.04)-f(1.96)~f'(1.96)*0.04~1/(2sqrt(1.96))*0.04=(0.04)/(21.4)=4/280=1/70~0.014.
Felet blir alltså 1/70.
sqrt(2)-1.4~1/70 dvs sqrt(2)=(1/70)+1.4~(1+7*14)/(70)=99/70.

Metoden kallas differentialer och feluppskattning.

Miniräknaren använder förmodligen Newton-Raphson's metod internt, som konvergerar snabbt mot det korrekta värdet, men inbegriper division för varje steg och är lite jobbig att använda om man räknar med penna och papper. Det finns en annan metod som påminner lite om trappan/stolen för division, där man bestämmer en siffra i taget, som är mer lämpad för handräkning:

https://en.wikipedia.org/wiki/Method...imal_(base_10)

På samma sida finns en härledning för metoden tillsammans med flera andra metoder.

Serieutveckla enligt receptet:

√(1 + x) = (1 + x)^½ = 1 + x/2 – x²/8 + ...

√128 = √(121 + 7) = 11*√(1 + 7/121)

≈ 11*( 1 + 7/(121*2) ) = 11 + 7/22.

Närmevärde: √128 ≈ 11.318.

Inkludera termen '–x²/8' om du vill ha ett bättre värde.

En kollega på förra jobbet visade hur han gjorde, med penna och papper, lika självsäkert som om vi skulle göra division!

Grymt!
Stort tack

YouTube

svårare att beskriva detta i ord men. rita ett T. ovansidan höger skriver du talet ex 3 om man skall räkna roten ur 3.
nu skall vi räkna.
hur många få du ut ur 3 jo 1 (1x!=1) då sätter vi en 1 på vänster sida uppe på T. på höger sida under T skriver du -1 och på höger +1 så summerar vi det 3-1=2 blir det på vänster sida. och på högersida summerar man 1+1=2
efter som vi har slut på heltal lägger man till två 00 på vänstersida. och nu på höger sida har vi en 2 och då skall vi lägga till en siffra bakom 2 ex 7 så det blir 27 och så ta vi det gånger 7 efter vi valt en 7 det är 189 skulle vi ha lagt till en 8 så tar man x8 man då blir man tjock får inte överstiga 200
så då sätter vi upp 7 på t vid 1, 7 så räknar vi ut på vänster 200-189= 11 + två 00 1100 höger sida 27+7= 34 så letar vi en ny siffra ex 343*3=1029 upp med 3 till t 1,73
så fortsätter man tills man har så många deccimaler man vill.

3 i 1,73
----------
-1 i +1
2 I 2
----------
200 i 27 *7
-189 i +7
--------------
11 00 i 343*3
-1029 i +3
___________
osv

Rent generellt kan jag tycka att det är viktigt vid huvudräkning att aldrig fastna för en specifik beräkningsmetod, i synnerhet inte om den är väldigt inskränkt i sitt användningsområde.

Då kan man lätt bli för enkelriktad och förmår då bara att lösa specifika problem om de ställs på ett visst sätt. Finns ju massa fjantar på YouTube som håller på att prova imponera då de blivit duktiga på vissa specialmetoder som bara fungerar för vissa synnerligen specifika problem om de ställs på rätt sätt. Men tittarna och media är för dumma för att begripa detta.

Just att mycket exakt ta kvadratrot är inte en del av huvudräkning jag sysslat med allt för mycket jämfört med annat.

Men en metoden är ju att hitta en känd kvadrat i närheten, inte nödvändigtvis en heltalskvadrat, sen utnyttja att derivatan av sqrt(x) är 1/(2*sqrt(x)).

Vet ju att 11²=121. Då derivatan lokalt vid 11 är 1/22 kommer då, aningen slarvigt x^0.5 ha växt med 7/22 mellan 121 och 128, så typ 11.318, men vet att det är aningen högt då ju derivatan avtar så hade nog höftat det till 11.315 sen nöjt mig med den noggranheten.


Eller, detta kanske kan låta knasigt, men en metod är att först logaritmera i huvudet, sen dela logaritmen på 2, sen ta e^(den logaritmen). Just för något så enkelt som kvadratrot är det något overkill, men en extremt bra metod att kunna höfta i huvudet

Styrkan med detta är att det även kan göras för godtycklig exponent, inte bara just för kvadratrot (alltså 0.5)

Ska prova skriva ungefär hur jag nog tänkt. Kändes lite speciellt det här känner jag att prova skriva hur man faktiskt tänker, för det kan variera så från fall till fall.

Kan man den naturliga logaritmen till de första primtalen kan man beräkna hur mycket häftigt som helst i huvudet (övriga tal, hela som rationella) kan ju härledeas och som sagt inte bara specialfallet kvadratrot.

ln(128) = ln(2^7) = 7*ln(2) /approx 7*0.693147 /approx 4.852
ln(sqrt(128)) = 4.852/2=2.426
128 =e^2.426
Vet: ln(11) = 2.3978 typ
Alltså sqrt(128) = 11*e^(2.426-2.398)
Sen när man taylorutvecklar e^x när x är nära 0 blir termerna fort så små att man kan förkorta bort tidigt med bra samvete får då
sqrt(128) = 11*(1+0.028+0.028²/2) = 11+11*(0.028+0.0005)=11+0.308+0.0055 = 11.3135ish

Kan tyckas som man går över bäcken efter vatten, men som sagt det är ett häftig grej att lära sig då den metoden kan lösa problem av så godtycklig typ i huvudet. Som t.ex. 3.3^7.4 osv...

Sällan man behöver extrem noggrannhet i huvudet. Bättre att kunna metoder som kan lösa många olika typer av problem med acceptabel noggranhet kan jag tycka.