27 078 besökare online
1 087 715 medlemmar • 56 824 399 inlägg
Användarnamn 
Lösenord
Flashback Forum Vetenskap & humaniora Fysik, matematik och teknologi Matematiska och naturvetenskapliga uppgifter
Svara på ämne
Ämnesverktyg
Axhell
Medlem
Hej!

Jag repeterar för tillfället gamla tentafrågor inför tentamen om två dagar. Har fastnat rätt så bra på en uppgift om som tyvärr saknar lösningsförslag.

En kedja ska sättas ihop med hjäalp av många små länkar. Antag att
länkarnas längd varierar något oberoende av varandra och där länkens
längd ξ kan beskrivas som en stokastisk variabel ξ ∈ R(0.9, 1.1) cm.
Om en kedja med hundra länkar ska bildas, hur stor är sannolikheten
att kedjans länd är mellan 100 och 101 cm?

Svaret ska bli 0.459 alltså 45.9%

Så här har jag försökt lösa uppgiften:
Spoiler:

Metod 1:
η = ∑ξ (summan av alla hundra länkar)

Sökt: P(100≤η≤101)

P(100≤η≤101) = P(100≤η) - P(η≥101) = 0.5 - (1-P(η≤101))

η∈Bin(n,p), där n = 100 och p = 0.5

η är approximativt N(np,√(np(1-p)) Att räkna på detta sätt blir helt fel för mig.

Metod 2:
η är approximativt N(nμ,σ√n), där μ = 1 och σ^2= ((1.1-0.9)^2)/12

Sedan beräknade jag P(η≤101) med centrala gränsvärdessatsen. Detta blir också fel...


Om någon vet hur detta löses eller kan berätta vilken approximation som ska göras så skulle detta vara till stor hjälp! Tack på förhand
__________________
Senast redigerad av Axhell 2017-03-20 kl. 19:36.
 
innesko
Medlem
inneskos avatar
Citat:
 Ursprungligen postat av Axhell
Hej!

Jag repeterar för tillfället gamla tentafrågor inför tentamen om två dagar. Har fastnat rätt så bra på en uppgift om som tyvärr saknar lösningsförslag.

En kedja ska sättas ihop med hjäalp av många små länkar. Antag att
länkarnas längd varierar något oberoende av varandra och där länkens
längd ξ kan beskrivas som en stokastisk variabel ξ ∈ R(0.9, 1.1) cm.
Om en kedja med hundra länkar ska bildas, hur stor är sannolikheten
att kedjans länd är mellan 100 och 101 cm?

Så här har jag försökt lösa uppgiften:
Spoiler:

Metod 1:
η = ∑ξ (summan av alla hundra länkar)

Sökt: P(100≤η≤101)

P(100≤η≤101) = P(100≤η) - P(η≥101) = 0.5 - (1-P(η≤101))

η∈Bin(n,p), där n = 100 och p = 0.5

η är approximativt N(np,√(np(1-p)) Att räkna på detta sätt blir helt fel för mig.

Metod 2:
η är approximativt N(nμ,σ√n), där μ = 1 och σ^2= ((1.1-0.9)^2)/12

Sedan beräknade jag P(η≤101) med centrala gränsvärdessatsen. Detta blir också fel...


Om någon vet hur detta löses eller kan berätta vilken approximation som ska göras så skulle detta vara till stor hjälp! Tack på förhand

Låt X_1, X_2, ...., X_100 vara längden för varje länk i kedjan. Den totala längden av kedjan är då X = X_1 + X_2 + ... + X_100. Nu ska man beräkna

P(100 ≤ X ≤ 101)

Eftersom nu X är en summa av massor med oberoende likafördelade s.v med ändlig varians så är (X - μ)/σ approximativt N(0, 1) fördelat enligt centrala gränsvärdessatsen. Här är alltså

μ = E[X] = Σ E[X_i] = 100·1 = 100
σ² = V[X] = Σ V[X_i] = 100 · 0.2²/12 = 1/3

Så låter man Z ~ N(0, 1) så är

P((100 - μ)/σ ≤ (X - μ)/σ ≤ (101 - μ)/σ) ≈ P(0 ≤ Z ≤ √(3)) ≈ 0.4584
 
Axhell
Medlem
Tack för snabbt svar!
Jag fick samma svar som du när jag räknade med centrala gränsvärdessatsen. Det är inte långt ifrån värdet i facit men skiljer sig ändå litegrann, därför antog jag att det var fel. Eftersom vi inte lämnar in våra lösningar utan endast värden hade detta inte gett några poäng på tentamen. Finns det någon anledning till varför man skulle vilja avrunda uppåt istället för nedåt?
 
innesko
Medlem
inneskos avatar
Citat:
 Ursprungligen postat av Axhell
Tack för snabbt svar!
Jag fick samma svar som du när jag räknade med centrala gränsvärdessatsen. Det är inte långt ifrån värdet i facit men skiljer sig ändå litegrann, därför antog jag att det var fel. Eftersom vi inte lämnar in våra lösningar utan endast värden hade detta inte gett några poäng på tentamen. Finns det någon anledning till varför man skulle vilja avrunda uppåt istället för nedåt?

Nej, jag ser ingen anledning till att avrunda uppåt.
 
Millediablo
Medlem
Millediablos avatar
Är avståndet 0,9-1,0 c-c brytpinne eller hela länkemåtttet?
 
Svara på ämne
Svara Topp Dela