*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Någon som kan ge tips på hur man löser
ʃ √(x² + 2x + 3) dx ?

Tack på förhand!

tack för hjälpen, men hur kommer fall 2 se ut?

√(x² + 2x + 3) = √((x + 1)² + 3 -1) = √((x + 1)² + 2) = √2√((x + 1)²/√(2)² + 1)

Byt variabel, t = (x + 1)/√2. Detta ger dt = dx/√2

∫ √(x² + 2x + 3) dx = ∫ √2√((x + 1)²/√(2)² + 1) dx = ∫ √2 √(t² + 1) √2 dt = 2 ∫ √(t² + 1) dt

Så, där har vi fått ner det till en enklare form. Denna integral är ganska vanlig och det finns ett bra sätt att lösa den på.

I = ∫ √(s² + 1) ds = ∫ 1·√(s² + 1) ds = s·√(s² + 1) - ∫ s²/√(s² + 1) ds

Men ∫ s²/√(s² + 1) ds = ∫ (s² + 1 - 1)/√(s² + 1) ds = ∫ (s² + 1)/√(s² + 1) ds - ∫ 1/√(s² + 1) ds = ∫ √(s² + 1) ds - ∫ 1/√(s² + 1) ds = I - ∫ 1/√(s² + 1) ds så vi har att:

I = s·√(s² + 1) - (I - ∫ 1/√(s² + 1) ds)

Detta ger alltså att:

2I = s·√(s² + 1) + ∫ 1/√(s² + 1) ds

Integralen ∫ 1/√(s² + 1) ds = ln|s + √(s² + 1)|, en standardprimitiv. Detta ger alltså att:

∫ √(s² + 1) ds = 1/2·(s·√(s² + 1) + ln|s + √(s² + 1)|)

Detta bör vara tillräcklig hjälp på vägen!

Kan du lösa ʃ √(x²+c²) dx? I så fall kan du skriva om
ʃ √(x² + 2x + 3) dx som ʃ √((x + 1)² + (√2)²) dx.

Det kommer se ut så här: http://i59.tinypic.com/313q1c2.jpg

Det blir helt enkelt så att u ligger på andra sidan av e₁ jämfört med det första fallet. Använd den gamla ON-basen från första uppgiften igen (denna gång bygger v på u* som vi kallar vårt gamla u som vi hade för det första fallet).

fattar inte, kan du visa hur man räknar ut det?

Vad är det du inte förstår? Var u ligger i det andra fallet? Förstår du bilden?

Ja! Svaret ska bli 9π/64, vilket jag får långt ifrån!

Tänk på att om du bara drar bort en hel cylinder så tar du bort för mycket! Vår kropp K är ju ingen cylinder utan en skål.

Kropp K: x² + y² ≤ z ≤ 1

Därmed, x² + y² ≤ 1/4 = (1/2)², så skålen försvinner helt för z ≤ 1/4 i och med att vi borrar det cylindriska hålet med radie 1/2. Kalla denna kropp som blir genomborrad K' och låt
Dz' : (1/2)² ≤ x² + y² ≤ z (på fixa z-nivåer). Då ges tröghetsmomentet av:


∫∫∫_ K' (x² + y²) dxdydz = ∫_{1/4, 1} (∫∫_Dz' (x² + y²) dxdy) dz

∫∫_Dz' (x² + y²) dxdy = ∫_{0, 2π} ∫_{1/2, √z} r³ drdφ = 2π·((√z)⁴/4 - (1/2)⁴/4) = 2π(z²/4 - 1/64)

∫∫∫_ K' (x² + y²) dxdydz = ∫_{1/4, 1} 2π·(z²/4 - 1/64) dz = ... = 9π/64

Får inte ihop det på slutet.. ∫_{1/4, 1} 2π·(z²/4 - 1/64) dz = [z³/12-z/64)

2pi((1/12-1/64)-((1/64)/12-(1/4)/12))= http://www.wolframalpha.com/input/?i...%29%2F12%29%29


Sedan har jag lite frågor:

1. det går väl att integrera dz först istället för dxdy först?

2. Hur får man fram att gränserna ska vara ∫_{1/2, √z} ? Det är ju liksom två geometriska former i en beräkning, greppar det inte riktigt än. Men det är på väg.

3. Om jag ska räkna ur en generell volym för en klyfta av ett klot (1/4 av volymen), kan man göra så här då?:

K:
x²+y²+z²≤R²

∫∫dxdy ∫_{0, √(R²-x²-y²)} dz

∫∫ √(R²-x²-y²) dxdy - > pi ∫_{0, R} √(R²-r²)rdr = pi [ -(R²-R²)^(3/2)/3 ] Vilket blir noll.. så det går ju uppenbarligen inte. Tänkte först att man kunde testa från -pi/2 till pi/2.. men då blir det ju noll där istället

Jodå, det går att integrera med avseende på z först, men det är enklare att reda ut gränserna genom att avsluta i z-led, det vill säga skivor i z-led.

Om vi fokuserar på kroppen utan hål i så är den i form av en skål: x² + y² ≤ z ≤ 1. Om vi fixerar z har vi alltså att x² + y² ≤ z för olika z mellan 0 och 1. För ett fixt z är formen x² + y² ≤ z = (√z)², alltså en cirkelskiva med radie √z. När vi sedan borrar bort en cylinder med radie 1/2 ur denna kropp får vi istället på fixa z-nivåer en cirkelring, alltså en cirkelskiva med ett hål i enligt 1/2 ≤ x² + y² ≤ (√z)².

För klot, använd rymdpolära koordinater så blir det lättare.

Tack så mycket!